Taajuusvasteanalyysi

Ongelman formulointi

Taajuusvasteanalyysissä arvioidaan järjestelmän stationäärisen vasteen amplitudi ja vaihe taajuustasossa, kun ulkoinen voima vaihtelee harmonisesti ajan funktiona. Koska liikeyhtälöä käsitellään eri tavoin vaimennuksen kanssa ja ilman sitä, tässä luvussa johdetaan ensin ominaismoodit vaimentamattomasta vapaasta värähtelystä ja käytetään niitä sitten moodikantana vaimennetun harmonisen vasteen kehittämiseen.

Vaimentamaton vapaa värähtely ja ominaismoodit

Kun vaimennus jätetään huomiotta, liikeyhtälö on

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Kun siirtymä kehitetään kunkin ominaismoodin avulla, saadaan

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Kun tämä sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.6.1}\), saadaan

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Tämä on yleistetty ominaisarvo-ongelma. Sen numeerisia ratkaisumenetelmiä, kuten siirrettyä käänteisiterointia ja Lanczos-menetelmää, käsitellään kohdassa Moodianalyysi. Tässä osassa esitetään yhteenveto saatujen ominaistaajuuksien ja ominaismoodien ominaisuuksista, joita käytetään myöhemmässä harmonisen vasteen kehitelmässä.

Ominaistaajuuksien reaalisuus

Ominaistaajuuden voidaan osoittaa olevan reaalinen seuraavasti. Olkoon \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Kun yhtälöstä \(\eqref{eq:2.6.3}\) otetaan kompleksikonjugaatti, saadaan yhtälö \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Kertomalla \(\overline{U}_J^T\):llä saadaan

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Yhtälöstä \(\eqref{eq:2.6.5}\)

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Koska massamatriisi on symmetrinen positiividefiniitti, nollasta poikkeavalle ominaisvektorille pätee

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Näin ollen

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Siis \(\omega_j^2 = \lambda_j\) on reaalinen.

Ominaismoodien ortogonaalisuus ja normitus

Tarkastellaan kahta eri moodia.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Tästä seuraa

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ja kun ominaisarvot ovat erilaiset,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Näin ollen eri ominaismoodit ovat ortogonaalisia massamatriisin suhteen. Kun sama moodi normitetaan massamatriisin suhteen yhtälön \(\eqref{eq:2.6.12}\) mukaisesti, myöhempi käsittely yksinkertaistuu.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Vaimennettu harmoninen vaste

Seuraavaksi esitetään vaimennuksen sisältävän taajuusvasteanalyysin formulointi. Liikeyhtälö annetaan yhtälössä \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Vaimennustermin oletetaan olevan Rayleigh-tyyppinen, ja se esitetään yhtälöllä \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Moodianalyysistä saatujen ominaisvektorien avulla siirtymävektori hetkellä t voidaan kehittää yhtälön \(\eqref{eq:2.6.15}\) mukaisesti.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Oletetaan, että ulkoisen voiman termi on harmonista muotoa

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Määritetään sitten \(b_{j}(t)\). Koska yhtälön \(\eqref{eq:2.6.13}\) liikeyhtälö on pakotetun värähtelyn muotoinen,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

pätee. Kehitelmäkertoimen \(b_{j}(t)\) reaali- ja imaginääriosat annetaan vastaavasti yhtälöissä \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ja \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Näin saadaan halutut harmonisen vasteen kertoimet.

Liittyvät aiheet

• Moodianalyysi — Taustalla olevan ominaisarvo-ongelman formulointi
• Dynaamisen analyysin menetelmät — Dynaaminen analyysi aika-alueessa
• Analyysityypit — Taajuusvasteanalyysin toiminnallinen yleiskuvaus