Hyppää sisältöön

Numeerinen integrointi

Kohdissa Sisäisen virtuaalityön diskretointi ja Ulkoisen virtuaalityön diskretointi ja globaalin yhtälön kokoaminen saadut elementin sisäisen voiman vektorit \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ja elementin jäykkyysmatriisi \(\boldsymbol{K}^e\) ovat integraaleja elementtialueen \(\Omega^e\) tai \(\Omega^e_0\) yli. FrontISTR arvioi ne numeerisesti Gaussin kvadratuurilla.

Gaussin kvadratuuri ja muuttujanvaihto

Gaussin kvadratuuri approksimoi referenssialueen \(\Xi\) yli lasketun integraalin integraatiopisteissä \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) laskettujen integrandin arvojen ja painojen \(w_i\) lineaarikombinaationa. Kun menetelmää sovelletaan elementtialueeseen \(\Omega^e\), tehdään muuttujanvaihto kuvauksella \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), jolloin saadaan

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

missä \(n_q\) on integraatiopisteiden määrä ja \(J_{\xi_i}\) muunnoksen Jacobin determinantti. Referenssialue \(\Xi\) määritetään kullekin elementtityypille (heksaedrille \([-1,1]^3\); kolmioille, tetraedreille ja kiiloille vastaavat referenssimuodot), ja integraatiopisteet \(\boldsymbol{\xi}_i\) sekä painot \(w_i\) annetaan numeerisina taulukoina. Pintaintegraalit käsitellään samalla tavalla kuvaamalla elementin tahko kaksiulotteiselta referenssialueelta.

FrontISTR:n käyttämien integraatiopisteiden edustavia määriä esitetään jäljempänä (vastaavuus elementtityyppeihin: Elementtien numerointijärjestelmä ja muotofunktiokirjasto).

Elementtityyppi Kvadratuurisääntö Integraatiopisteiden määrä
4-solmuinen tetraedri (tet4n) 1 pisteen sääntö 1
10-solmuinen tetraedri (tet10n) 4 pisteen sääntö 4
6-solmuinen kolmioprisma (prism6n) 2 pisteen sääntö 2
15-solmuinen kolmioprisma (prism15n) 9 pisteen sääntö 9
8-solmuinen heksaedri (hex8n) 2×2×2 Gauss–Legendre 8
20-solmuinen heksaedri (hex20n) 3×3×3 Gauss–Legendre 27
4-solmuinen nelikulmio (quad4n) 2×2 Gauss–Legendre 4
8-solmuinen nelikulmio (quad8n) 3×3 Gauss–Legendre 9
3-solmuinen kolmio (tri3n) 1 pisteen sääntö 1
6-solmuinen kolmio (tri6n) 3 pisteen sääntö 3

Heksaedri-, nelikulmio- ja viivaelementeille käytetään Gauss–Legendre-säännön tensorituloja kussakin koordinaattisuunnassa. Kolmioille, tetraedreille ja kolmioprismoille käytetään simplex-tyyppiseen geometriaan soveltuvia omia sääntöjä (pistejärjestelyjä, jotka integroivat polynomit tarkasti itse kolmion alueella).

Soveltaminen elementti-integrointiin

Elementti-integroinnissa referenssialueen koordinaatteina käytetään luonnollisia koordinaatteja \(\boldsymbol{r}\) (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ja kuvaus fysikaalisiin koordinaatteihin annetaan solmukoordinaattien interpolointina muotofunktioilla. Referenssikonfiguraation valinnan mukaan (Inkrementaalisen analyysin kehys) käytetään seuraavia formulointeja.

Total Lagrangian -menetelmä (integrointi referenssikonfiguraation \(\Omega^e_0\) yli): kuvaus ja Jacobin determinantti ovat

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ja elementin sisäinen voima sekä jäykkyysmatriisi approksimoidaan seuraavasti

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Kaikki suureet \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) arvioidaan integraatiopisteessä \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrangian -menetelmä (integrointi nykyisen konfiguraation \(\Omega^e\) yli): kuvaus ja Jacobin determinantti ovat

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ja

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

käytetään approksimaatioina.

Näiden kahden formuloinnin ainoa ero on se, annetaanko kuvaukselle solmukoordinaatit \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) vai \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integraatiopisteet, painot ja integraatiopistesilmukan rakenne ovat yhteiset.

Täydellinen ja redusoitu integrointi

Integrointia, jossa käytetään riittävästi integraatiopisteitä integrandin polynomiasteen tarkkaan integrointiin, kutsutaan täydelliseksi integroinniksi, kun taas yhtä tasoa vähemmän integraatiopisteitä käyttävää integrointia kutsutaan redusoiduksi integroinniksi. Redusoitua integrointia käytetään leikkaus- ja tilavuuslukkiutumisen lieventämiseen, mutta se edellyttää hourglass-moodien kaltaisten epäfysikaalisten muodonmuutosmoodien käsittelyä. Kunkin elementtityypin integraatiopisteiden määrä sekä täydellisen ja redusoidun integroinnin valinta käsitellään kohdassa Elementtien numerointijärjestelmä ja muotofunktiokirjasto ja sitä seuraavissa osioissa sekä kohdassa Edistyneet elementtiformuloinnit.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status