Hyppää sisältöön

Ulkoisten voimien virtuaalinen työ ja globaalien yhtälöiden kokoaminen

Kohdassa Sisäisten voimien virtuaalisen työn diskretointi heikon muodon vasen puoli pelkistettiin elementin sisäisten voimien vektoriksi \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-menetelmä) tai \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-menetelmä). Tässä luvussa johdetaan ulkoisten voimien virtuaalisesta työstä elementin solmujen ulkoisten voimien vektori \(\boldsymbol{F}^e\) ja sovelletaan sitten kokoamisoperaatiota, jossa elementin solmusuureet järjestetään uudelleen globaalien solmunumeroiden mukaan ja summataan. Lopputuloksena saadaan solmusiirtymien epälineaarinen yhtälöjärjestelmä, jonka FrontISTR:n epälineaarinen rakenneanalyysi ratkaisee.

Ulkoisten voimien virtuaalisen työn elementtikohtainen hajotelma

Virtuaalisen työn periaatteen oikea puoli voidaan hajottaa elementeittäin ulkoisten voimien virtuaaliseksi työksi, joka koostuu tilavuusvoimista (kappalevoimista) ja mekaanisilla rajoilla määrätyistä pintavoimista. Kohdassa Muotofunktiot ja äärellisten elementtien approksimaatio esitetyn siirtymäinterpoloinnin kirjoittamiseksi matriisimuodossa määritellään solmun \(\alpha\) muotofunktion \(N_\alpha^e\) sisältävä diagonaalinen \(d \times d\) -lohko \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ja näistä rinnakkain muodostettu \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), jolloin \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Kun tämä sijoitetaan referenssikonfiguraatiossa kirjoitettuun ulkoisten voimien virtuaaliseen työhön, saadaan

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

missä elementin solmujen ulkoisten voimien vektori on järjestetty muodossa \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Näin ulkoisten voimien virtuaalinen työ saadaan samaan muotoon "elementin solmuvektori × testifunktio" kuin sisäisten voimien puoli (nykykonfiguraatiossa kirjoitettuna saadaan sama muoto korvaamalla \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) ja \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Elementin solmusuureiden kokoaminen

Kullekin elementille saadut solmusuureet \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) summataan globaaleiksi vektoreiksi, jotka on järjestetty globaalien solmunumeroiden mukaan. Olkoon elementin \(\Omega^e\) paikallista solmunumeroa \(\alpha\) vastaava globaali solmunumero

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tällöin elementin solmusuure on sama kuin globaalin solmusuureen vastaava komponentti (esimerkiksi \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Koska solmu \(i_g\) kuuluu yleensä useaan elementtiin, määritellään joukko niistä pareista \((e, \alpha)\), joiden globaali solmunumero on \(i_g\), muodossa

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Kun summa kirjoitetaan tämän joukon avulla muodossa \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), saadaan kaikkien \(n_g\) solmun solmun sisäinen voima ja globaali sisäisten voimien vektori:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Tässä \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) vastaa solmussa \(i_g\) vaikuttavien elementin solmujen sisäisten voimien resultanttia ja on \(\boldsymbol{0}\), kun ulkoista voimaa ei vaikuta ja tasapainoehto täyttyy. UL-menetelmässä samalla menettelyllä saadaan \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); koska numeerisesti \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), jäljempänä käytetään merkintää \(\boldsymbol{Q}\) lukuun ottamatta kohtia, joissa erottelu on tarpeen. Myös globaali ulkoisten voimien vektori \(\boldsymbol{F}\) saadaan samalla summauksella.

Toteutuksessa joukkoa \(\mathcal{E}(i_g)\) ei muodosteta eksplisiittisesti, vaan osuudet lisätään elementtisilmukan sisällä suoraan vastaaviin komponentteihin.

Alusta globaali sisäisten voimien vektori Q nollaksi: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementtien määrä)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globaali ulkoisten voimien vektori \(\boldsymbol{F}\) muodostetaan samalla menettelyllä. Tätä operaatiota, jossa elementin solmusuureet lisätään ja tallennetaan globaalien solmunumeroiden mukaan numeroituihin vektoreihin ja matriiseihin, kutsutaan kokoamiseksi. Kahteen solmunumeroon liittyville toisen kertaluvun tensoreille (kuten jäykkyysmatriiseille) saadaan vastaava kokoamisoperaatio käyttämällä joukkoa \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (tarkka muodostus on kuvattu kohdassa Tangenttijäykkyysmatriisi).

Ratkaistavat epälineaariset yhtälöt

Kun kootut sisäiset ja ulkoiset voimat sijoitetaan Virtuaalisen työn periaatteeseen ja käytetään sitä, että yhtälö pätee kaikille geometriset reunaehdot täyttäville testifunktioille \(\delta\boldsymbol{u}^n\), saadaan

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Inkrementaalisen analyysin (Inkrementaalisen analyysin kehys) yhteydessä palautetaan aikaindeksi \(_{n+1}\) ja jätetään pois globaalia solmuvektoria ilmaiseva yläindeksi \(^n\). Tällöin ratkaistava yhtälö on

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Näin diskretoitu reuna-arvo-ongelma, jossa etsitään ajanhetken \(t_{n+1}\) solmusiirtymää \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), pelkistyy tämän siirtymää koskevan epälineaarisen yhtälön ratkaisemiseen yhdessä geometristen reunaehtojen kanssa. Yhtälön linearisointi ja tangenttijäykkyysmatriisin muodostus on kuvattu kohdassa Tangenttijäykkyysmatriisi ja iteratiivinen ratkaisumenetelmä kohdassa Newton–Raphson-menetelmä.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status