Liike, muodonmuutos ja venymä¶

Referenssi- ja nykykonfiguraatiot¶

Konfiguraatioiden määritelmät¶

Jotta voidaan erottaa, mihin ajanhetken muotoon fysikaalisten suureiden kuvaus perustuu, tässä oppaassa käytetään kahta konfiguraatiota.

Referenssikonfiguraatio: analyysin alussa (ajanhetkellä \(0\)) oleva muodonmuuttumaton muoto, jota kutsutaan myös alkukonfiguraatioksi. Referenssikonfiguraation pistettä kuvataan materiaalikoordinaatilla \(\boldsymbol{X}\); tilavuus on \(V\) ja pinta \(S\).
Nykykonfiguraatio: ajanhetkellä \(t\) oleva muodonmuuttunut muoto. Nykykonfiguraation pistettä kuvataan avaruuskoordinaatilla \(\boldsymbol{x}\); tilavuus on \(v\) ja pinta \(s\).

Liike esitetään näiden kahden konfiguraation välisenä kuvauksena \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), ja siirtymä määritellään muodossa \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfiguraatiosta riippuva merkintätapa (isot/pienet kirjaimet)¶

Symbolin kirjainkoko erottaa, mihin konfiguraatioon fysikaalinen suure kuuluu.

Referenssikonfiguraatioon kuuluvat suureet kirjoitetaan isoilla symboleilla (esimerkiksi \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Nykykonfiguraatioon kuuluvat suureet kirjoitetaan pienillä symboleilla (esimerkiksi \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Molempiin konfiguraatioihin liittyvissä suureissa, kuten ensimmäisessä Piola–Kirchhoffin jännityksessä \(\boldsymbol{P}\), käytetään vakiintunutta merkintätapaa, ja ne yksilöidään tekstissä tarvittaessa.
Pienten muodonmuutosten teoriassa kahden konfiguraation välinen ero häviää, joten käytetään vain pieniä symboleja (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Referenssi- ja nykykonfiguraation gradientit¶

Merkintätapa ja merkitys riippuvat siitä, minkä konfiguraation suhteen avaruusderivaatta otetaan.

Referenssikonfiguraation gradientti \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradientti materiaalikoordinaattien suhteen. Esimerkki: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Nykykonfiguraation gradientti \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradientti avaruuskoordinaattien suhteen. Esimerkki: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Niiden välinen yhteys on \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Aikaderivaattojen merkintätapa (materiaalinen aikaderivaatta \(\dot{(\cdot)}\)) on kuvattu kohdassa Tensorimerkintä ja matemaattiset perusteet.

Liikkeen kuvaus¶

Liikekuvaus sekä materiaali- ja avaruuskuvaus¶

Kun jatkumo tulkitaan materiaalipisteiden joukoksi, jonka pisteet on merkitty niiden ajanhetken \(0\) sijainnilla \(\boldsymbol{X}\), liike esitetään kuvauksella \(\phi\), joka liittää kuhunkin materiaalipisteeseen \(\boldsymbol{X}\) sen sijainnin \(\boldsymbol{x}\) ajanhetkellä \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Kun referenssikonfiguraatioksi valitaan alkukonfiguraatio, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Riippumattomien muuttujien valinnan perusteella erotetaan kaksi kuvaustapaa.

Materiaalikuvaus (Lagrangen kuvaus): fysikaaliset suureet esitetään muuttujien \((\boldsymbol{X}, t)\) funktioina. Kiinteän aineen mekaniikassa tämä on luonteva valinta, koska referenssikonfiguraatio annetaan kiinteänä muotona.
Avaruuskuvaus (Eulerin kuvaus): fysikaaliset suureet esitetään muuttujien \((\boldsymbol{x}, t)\) funktioina. Tämä on virtausmekaniikan tavanomainen kuvaustapa.

FrontISTR:n rakenneanalyysi perustuu lähtökohtaisesti materiaalikuvaukseen, mutta Updated Lagrange -menetelmässä käytetään myös avaruuskuvauksen suureita, koska nykykonfiguraatio otetaan uudeksi referenssikonfiguraatioksi.

Siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys¶

Kuten edellisessä osassa todettiin, siirtymä \(\boldsymbol{u}\) määritellään yhtälöllä \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Sen suuruudesta ei tehdä oletusta, joten myös äärellinen muodonmuutos sisältyy kuvaukseen. Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit määritellään \(\boldsymbol{u}\):n materiaalisina aikaderivaattoina materiaalipisteen pysyessä samana:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Nämä yhtälöt määrittävät nopeuden ja kiihtyvyyden.

Muodonmuutosgradientti ja muodonmuutostensorit¶

Muodonmuutosgradienttitensori¶

Äärellisten muodonmuutosten kontinuumimekaniikan perussuure on muodonmuutosgradienttitensori \(\boldsymbol{F}\). Se on lineaarikuvaus, joka kuvaa referenssikonfiguraation infinitesimaalisen viiva-alkion \(d\boldsymbol{X}\) nykykonfiguraation infinitesimaaliseksi viiva-alkioksi \(d\boldsymbol{x}\), ja se määritellään liikekuvauksen gradienttina materiaalikoordinaattien suhteen:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Näin määriteltynä (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) muodonmuuttumattomassa tilassa. \(\boldsymbol{F}\):ää käytetään laajasti venymän ja jännityksen määrittelyssä sekä fysikaalisten suureiden muuntamisessa konfiguraatioiden välillä.

Tilavuussuhde¶

Referenssikonfiguraation infinitesimaalisen tilavuuden \(dV\) ja sitä vastaavan nykykonfiguraation infinitesimaalisen tilavuuden \(dv\) suhdetta kutsutaan tilavuussuhteeksi \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Jatkumon kääntyvyys edellyttää ehtoa \(J > 0\). Massan säilyminen ilmaistaan muodossa \(\rho_0 = J\rho\).

Oikea ja vasen Cauchy–Greenin muodonmuutostensori¶

Koska muodonmuutosgradientti \(\boldsymbol{F}\) sisältää jäykän kappaleen kierron, itse muodonmuutosta kuvaavissa suureissa käytetään suureita, joista jäykän kappaleen kierto on poistettu. Oikea Cauchy–Greenin muodonmuutostensori \(\boldsymbol{C}\) (referenssikonfiguraatio) ja vasen Cauchy–Greenin muodonmuutostensori \(\boldsymbol{b}\) (nykykonfiguraatio) määritellään seuraavasti

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Molemmat ovat symmetrisiä tensoreita ja niillä on samat ominaisarvot (päävenymien neliöt). Hyperelastisten venymäenergiafunktioiden pääinvariantit ilmaistaan näiden tensorien avulla.

Venymätensorit¶

Green–Lagrangen venymätensori¶

Referenssikonfiguraatioon suhteutettuna venymämittana Green–Lagrangen venymätensori \(\boldsymbol{E}\) määritellään muodossa

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Se on symmetrinen tensori, joka kuvaa referenssikonfiguraation infinitesimaalisten vektorien sisätulon muutosta, on invariantti jäykän kappaleen kierrolle ja toteuttaa ehdon \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) muodonmuuttumattomassa tilassa. Kun käytetään yhtälöä \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), saadaan

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tämä esittää venymän siirtymägradientin ensimmäisen ja toisen kertaluvun termien summana; toisen kertaluvun termi kuvaa geometrista epälineaarisuutta. Total Lagrange -menetelmässä sitä käytetään työn suhteen konjugaattiparina \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-venymätensori¶

Nykykonfiguraatioon suhteutettuna venymämittana Almansi-venymätensori \(\boldsymbol{e}\) määritellään muodossa

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Se liittyy Green–Lagrangen venymään yhtälöllä \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (takaisinveto).

Infinitesimaalinen venymätensori¶

Kun siirtymägradientti on pieni (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green–Lagrangen venymän toisen kertaluvun termi voidaan jättää huomiotta. Tällöin kahden konfiguraation välinen ero häviää ja suure pelkistyy infinitesimaaliseksi venymätensoriksi \(\boldsymbol{\varepsilon}\), jolloin gradientti kirjoitetaan avaruuskoordinaateissa:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR käyttää tätä venymämittaa lineaarisessa staattisessa analyysissä, moodianalyysissä, taajuusvasteanalyysissä ja lineaarisessa dynaamisessa analyysissä. Äärellisten muodonmuutosten analyysissä käytetään \(\boldsymbol{E}\):tä Total Lagrange -menetelmässä ja nykykonfiguraatioon suhteutettua muodonmuutosnopeustensoria \(\boldsymbol{D}\) Updated Lagrange -menetelmässä.