Modaalianalyysi

Yleistetty ominaisarvo-ongelma

Jatkuvan kappaleen vapaan värähtelyn analyysissä alue diskretoidaan avaruudellisesti ja mallinnetaan kuvan 2.3.1 mukaisena keskitettyjen massojen monivapausastejärjestelmänä. Vaimennuksettoman vapaan värähtelyn hallitseva yhtälö (liikeyhtälö) on seuraava.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Tässä \(u\) on yleistetty siirtymävektori, \(M\) massamatriisi ja \(K\) jäykkyysmatriisi. Olkoon ominaiskulmataajuus \(\omega\), olkoot \(a\), \(b\) ja \(c\) mielivaltaisia vakioita ja olkoon \(x\) vektori. Määritellään funktio

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Tämän lausekkeen toinen derivaatta on

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Kun nämä lausekkeet sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.3.1}\), saadaan

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

eli

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

saadaan.

Jos siis yhtälö \(\eqref{eq:2.3.5}\) toteutuu kertoimella \(\lambda = \omega^2\) ja vektori \(x\) voidaan löytää, funktio \(u(t)\) on yhtälön \(\eqref{eq:2.3.1}\) ratkaisu.

Kerrointa \(\lambda\) kutsutaan ominaisarvoksi ja vektoria \(x\) ominaisvektoriksi. Niiden määrittämistä yhtälöstä \(\eqref{eq:2.3.1}\) kutsutaan yleistetyksi ominaisarvo-ongelmaksi.

Kuva 2.3.1 Esimerkki vaimentamattoman vapaan värähtelyn monivapausastejärjestelmästä

Matriisien ominaisuudet ja oletukset

Edellisessä kohdassa saadulle yleistetylle ominaisarvo-ongelmalle \(K x = \lambda M x\) tässä oppaassa oletetaan seuraavat matriisiominaisuudet. Nämä oletukset muodostavat jäljempänä kuvattujen siirretyn käänteisiteroinnin ja Lanczosin menetelmän konvergenssin ja soveltamisalan perustan. Kompleksimatriisille transpoosi on kompleksikonjugaatti, kun taas reaalimatriisi on symmetrinen. Jos matriisin \(K\) komponentti \(ij\) on \(k_{ij}\) ja \(k\):n kompleksikonjugaattia merkitään \(\bar{k}\):lla, niin

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

seuraava yhteys pätee.

Tässä oppaassa matriisien oletetaan olevan symmetrisiä ja positiividefiniittejä. Positiividefiniitti tarkoittaa, että kaikki ominaisarvot ovat positiivisia; vastaavasti matriisi toteuttaa aina alla olevan yhtälön \(\eqref{eq:2.3.7}\).

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Siirretty käänteisiterointi

Äärellisten elementtien rakenneanalyysissä kaikkia ominaisarvoja ei yleensä tarvita käytännössä; usein riittää vain muutama alimman kertaluvun ominaisarvo. HEC-MW on tarkoitettu suurille ongelmille, joissa matriisit ovat suuria ja erittäin harvoja (sisältävät paljon nolla-alkioita). Siksi on tärkeää laskea alimpien muotojen ominaisarvot tehokkaasti tätä ominaisuutta hyödyntäen.

Olkoon \(\sigma\) ominaisarvojen alaraja. Yhtälö \(\eqref{eq:2.3.5}\) voidaan tällöin muuntaa seuraavaan matemaattisesti ekvivalenttiin muotoon.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Tällä muunnoksella on seuraavat laskennan kannalta hyödylliset ominaisuudet.

1. Muotojen järjestys kääntyy.
2. Arvon \(\rho\) lähellä olevat ominaisarvot kuvautuvat suurimmiksi arvoiksi.

Varsinaisessa laskennassa suurimmat ominaisarvot saadaan usein ensin. Siksi yhtälön \(\eqref{eq:2.3.5}\) sijaan pääasiallinen konvergenssilaskenta kohdistetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.3.8}\), tavoitteena saada ensin arvoa \(\rho\) lähellä olevat ominaisarvot. Tätä tekniikkaa kutsutaan siirretyksi käänteisiteroinniksi.

Lanczosin menetelmä

Käytön peruste (vertailu Jacobin menetelmään)

Klassisista menetelmistä Jacobin menetelmä tunnetaan hyvin.

Menetelmä on tehokas, kun matriisi on pieni ja tiheä. Koska HEC-MW:n käsittelemät matriisit ovat kuitenkin suuria ja harvoja, Jacobin menetelmää ei käytetä, vaan sen sijaan käytetään iteratiivista Lanczosin menetelmää.

Algoritmi ja ominaisuudet

C. Lanczosin 1950-luvulla esittämä menetelmä on algoritmi matriisin pelkistämiseksi tridiagonaalimuotoon, ja sillä on seuraavat ominaisuudet.

• Se on iteratiivisesti konvergoiva menetelmä, joka voi edetä matriisin säilyessä harvana.
• Algoritmi koostuu pääasiassa matriisi–vektori-tuloista ja soveltuu hyvin rinnakkaistamiseen.
• Se soveltuu hyvin äärellisten elementtien verkkoihin liittyvään geometriseen aluejakoon.
• Tehokas laskenta on mahdollista rajoittamalla laskettavien ominaisarvojen määrää ja muotojen aluetta.

Lanczosin menetelmä aloittaa alkuvektorista, muodostaa peräkkäin ortogonaalisia vektoreita ja rakentaa aliavaruuden kannan. Sen sanotaan olevan nopeampi kuin toinen iteratiivinen menetelmä, aliavaruusmenetelmä, ja sitä käytetään laajalti äärellisten elementtien ohjelmissa. Menetelmä on kuitenkin herkkä numeerisille virheille, jotka voivat rikkoa vektorien ortogonaalisuuden ja aiheuttaa laskennan epäonnistumisen. Siksi tällaisten numeeristen virheiden torjunta on välttämätöntä.

Geometrinen tulkinta (Krylovin aliavaruus)

Kun yhtälöön \(\eqref{eq:2.3.8}\) tehdään seuraava muuttujanvaihto,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ongelma voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

saadaan.

Sovelletaan sopivaan vektoriin \(q_0\) matriisin \(A\) esittämää lineaarikuvausta (ks. kuva 2.3.2).

Kuva 2.3.2 Vektorin \(q_0\) lineaarikuvaus matriisilla \(A\)

Muunnettu vektori ortogonalisoidaan alkuperäisen vektorin kanssa viritetyssä avaruudessa. Toisin sanoen suoritetaan Gram–Schmidt-ortogonalisointi kuvan 2.3.2 mukaisesti. Olkoon näin saatu vektori \(r_1\). Normalisoimalla se yksikköpituuteen saadaan \(q_1\) (kuva 2.3.3). Vektorista \(q_1\) saadaan \(q_2\) samalla menettelyllä. Tässä vaiheessa \(q_2\) on ortogonaalinen sekä \(q_1\):lle että \(q_0\):lle (kuva 2.3.4). Kun samaa laskentaa jatketaan, saadaan keskenään ortogonaalisia vektoreita matriisin kertalukuun asti.

Kuva 2.3.3 Vektoria \(q_0\) vastaan ortogonaalinen vektori: \(q_1\)

Kuva 2.3.4 Vektoreita \(q_1\) ja \(q_0\) vastaan ortogonaalinen vektori: \(q_2\)

Lanczosin algoritmia sovelletaan erityisesti vektorijonoon \(A q_0\), \(A q_1\), \(A q_2\)

tai ekvivalentisti \(A q_0\), \(A^2 q_0\), \(A^3 q_0\), ,\(A^n q_0\)

Gram–Schmidt-ortogonalisoinnilla. Tätä vektorijonoa kutsutaan Krylovin jonoksi ja sen virittämää avaruutta Krylovin aliavaruudeksi. Kun Gram–Schmidt-ortogonalisointi suoritetaan tässä avaruudessa, kukin uusi vektori voidaan muodostaa kahden viimeisimmän vektorin avulla. Tätä kutsutaan Lanczosin periaatteeksi.

Tridiagonalisointi

Edellä olevassa iteraatiossa i+1:nnen vektorin laskenta voidaan kirjoittaa muotoon

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

missä

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Matriisimerkintää käyttäen tämä saadaan muotoon

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

missä

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Näin ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälöstä \(\eqref{eq:2.3.13}\) saadun tridiagonaalimatriisin ominaisarvo-ongelma.

Liittyvät aiheet

• Taajuusvasteanalyysi — Taajuusvaste modaalianalyysin tuloksia käyttäen
• Analyysityypit — Modaalianalyysin toiminnallinen yleiskatsaus