Hyppää sisältöön

3D-solidielementtien muotofunktiot

Tässä luvussa kootaan Muotofunktiot ja elementtimenetelmän approksimaatio -kohdassa esitetyt luonnolliset koordinaattijärjestelmät ja muotofunktioiden \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) eksplisiittiset muodot niille kolmiulotteisille solidielementeille, joita FrontISTR käyttää jatkuvan aineen analyysissä. Kuusi elementtityyppiä ovat ensimmäisen/toisen kertaluvun tetraedrit (341/342), ensimmäisen/toisen kertaluvun kolmioprismaelementit (351/352) ja ensimmäisen/toisen kertaluvun heksaedrit (361/362). HEC-MW-verkkotiedoston solmujärjestys ja pintanumerot on esitetty toimintoviitteen kohdassa Elementtikirjasto.

Elementti-integroinnin muodostaminen näistä muotofunktioista ja Jacobin determinantista noudattaa kohtaa Numeerinen integrointi. Elementin 361 B-bar-, F-bar- ja incompatible-formuloinnit sekä palkki- ja kuorielementtien muotofunktiot käsitellään kohdassa Edistyneet elementtiformuloinnit.

Luonnolliset koordinaattijärjestelmät ja sisäinen solmujärjestys

Muotofunktiot määritetään kunkin elementin luonnollisissa koordinaateissa \(\boldsymbol{r}\). Kolmiulotteiset solidielementit käyttävät elementin muodosta riippuen seuraavia kolmea luonnollista koordinaattijärjestelmää.

  • Heksaedrit (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedrit (341/342): tilavuuskoordinaatit \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), joille \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) ja \(L_i \ge 0\). Kun riippumattomiksi muuttujiksi valitaan \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), saadaan \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Kolmioprismaelementit (351/352): pohjakolmion tilavuuskoordinaatit \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) yhdistetään aksiaaliseen koordinaattiin \(\zeta \in [-1, 1]\), jolloin \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Apusuuretta \(a = 1 - \xi - \eta\) käytetään pohjan kolmantena tilavuuskoordinaattina.

Ensimmäisen kertaluvun elementeillä elementtisolmujen numerointi on sama HEC-MW-syöttömuodossa ja sisäisessä muodossa. Toisen kertaluvun elementeillä sivujen keskisolmujen järjestyskäytännöt eroavat. FrontISTR hyväksyy syötteenä HEC-MW-muodon (kulmasolmut luetellaan elementin ympäri ja sen jälkeen sivujen keskisolmut särmäjärjestyksessä 1-2, 2-3, …), kun taas elementtikirjaston muotofunktiot on toteutettu olettaen eri solmujärjestys.

Muotojen välinen ero ratkaistaan funktiolla hecmw2fstr_mesh_conv, jota kutsutaan heti verkkodatan lukemisen jälkeen ja joka järjestää kunkin elementin solmut uudelleen. Kolmiulotteisista solidielementeistä muunnetaan seuraavat kaksi tyyppiä.

Elementtityyppi Muunnostaulukko Kuvaus
342 (toisen kertaluvun tetraedri) Table342 Järjestää 10 solmua järjestykseen \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (toisen kertaluvun kolmioprisma) Table352 Järjestää 15 solmua järjestykseen \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Koska uudelleenjärjestely tehdään suoraan elementin kytkennän tallentavaan taulukkoon, kaikki myöhemmät elementtikirjaston kutsut käyttävät FrontISTR:n sisäistä solmujärjestystä. Toisen kertaluvun heksaedrielementille 362 ei ole muunnostaulukkoa, koska sivujen keskisolmujen järjestys on sama HEC-MW-syötteessä ja FrontISTR:n sisäisessä muodossa. Tuloksia kirjoitettaessa käänteismuunnos fstr2hecmw_mesh_conv palauttaa HEC-MW-solmujärjestyksen ennen kirjoitusta, joten käyttäjän tarvitsee tuntea vain HEC-MW-muoto sekä syötössä että tulostuksessa. Alla olevien muotofunktioiden solmunumerot käyttävät muunnettua FrontISTR:n sisäistä muotoa.

Ensimmäisen kertaluvun elementtien muotofunktiot

Ensimmäisen kertaluvun tetraedrielementillä (341) muotofunktiot ovat itse tilavuuskoordinaatit:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Ensimmäisen kertaluvun kolmioprismaelementillä (351) muotofunktiot ovat pohjakolmion lineaaristen muotofunktioiden (\(a, \xi, \eta\)) ja lineaaristen aksiaalisten muotofunktioiden (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) tuloja:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Ensimmäisen kertaluvun heksaedrielementillä (361) muotofunktiot ovat kolmen koordinaattisuunnan lineaaristen muotofunktioiden tensorituloja:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Tässä \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ovat solmun \(\alpha\) luonnollisten koordinaattien arvot (kukin komponentti on \(\pm 1\)).

Toisen kertaluvun elementtien muotofunktiot

Toisen kertaluvun tetraedrielementillä (342) muotofunktiot jakautuvat neljälle kulmasolmulle ja kuudelle sivun keskisolmulle:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Sivujen keskisolmut 5–10 vastaavat järjestyksessä särmien 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 ja 3-4 keskipisteitä.

Toisen kertaluvun kolmioprismaelementti (352) koostuu kuudesta kulmasolmusta, kuudesta kolmioseinämien sivujen keskisolmusta ja kolmesta aksiaalisten särmien keskisolmusta:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Sivujen keskisolmut 7–9 vastaavat alakolmion (\(\zeta = -1\)) särmien keskipisteitä, solmut 10–12 yläkolmion (\(\zeta = +1\)) särmien keskipisteitä ja solmut 13–15 aksiaalisten särmien keskipisteitä.

Toisen kertaluvun heksaedrielementti (362) on 20-solmuinen Serendipity-perheen elementti. Olkoot solmun \(\alpha\) luonnollisten koordinaattien arvot \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Kulmasolmuille (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), jokainen komponentti \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Sivujen keskisolmuille (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), joilla yksi kolmesta luonnollisesta koordinaatista on \(0\) ja kaksi muuta \(\pm 1\)), solmuille, joilla \(\xi_\alpha = 0\) (\(\xi\)-suuntaiset särmät), saadaan

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Sivujen keskisolmut, joiden särmän suunta on \(\eta\)- tai \(\zeta\)-akseli, määritetään vastaavasti siten, että vastaava luonnollinen koordinaatti eliminoidaan neliötermillä.

Aiheeseen liittyvät kohdat

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status