Epälineaarinen iterointi ja aikaintegrointi

FrontISTR etenee ratkaisussa yhdistämällä epälineaarisen iteroinnin ja aikaintegroinnin kunkin vaiheen inkrementtiohjauksen jokaisella aliaskeleella. Tällä sivulla kuvataan ulomman vaiheohjauksen ja sisemmän lineaariratkaisijan väliset iteratiiviset rakenteet: Newton-Raphson-iteraatiot, kontakti-iteraatiot, dynaamisen analyysin aikaintegrointi sekä aikariippuvan lämmönjohtumisen ajan etenemisen ja epälineaarisen iteroinnin kehys.

Yleiskuva

Epälineaarinen ratkaisu ja aikaintegrointi muodostavat vaiheen sisällä sisäkkäisen rakenteen, joka koostuu useista silmukoista ulkoa sisäänpäin. Kullakin tasolla on seuraava tehtävä.

Taso	Tehtävä	Pääasiallinen viitesivu
Vaihesilmukka	Jakaa koko analyysin useisiin vaiheisiin ja vaihtaa reunaehtoja, kuormia, kontaktia ja elementtien aktivointia.	Vaiheohjaus
Aliasaskelsilmukka	Jakaa yhden vaiheen aikainkrementteihin ja etenee kiinteillä tai automaattisilla inkrementeillä ja cutback-toiminnolla.	Vaiheohjaus
Aikaintegroinnin tilan eteneminen	Dynaamisessa analyysissä ja aikariippuvassa lämmönjohtumisessa määrittää seuraavan ajan tilan edellisen askeleen tilasta.	Tämä sivu
Kontaktitilan hakusilmukka	Kontaktianalyysissä etsii kontaktitilan (kontakti/irtoaminen) muutoksia ja päivittää jäykkyysmatriisin rakenteen.	Tämä sivu
Laajennetun Lagrangen ulkoinen iterointi	ALAGRANGE-kontaktissa parantaa kontaktirajoitteen tarkkuutta asteittain.	Tämä sivu
Newton-iterointi	Ratkaisee epälineaariset tasapainoyhtälöt iteratiivisesti Newton-Raphson-menetelmällä.	Tämä sivu
Lineaarisen järjestelmän ratkaisu	Ratkaisee tangentiaaliseen jäykkyysmatriisiin perustuvan lineaarisen järjestelmän jokaisella Newton-iteraatiolla.	Ratkaisija ja esikäsittely

Se, mitkä näistä tasoista esiintyvät, riippuu analyysityypistä.

Analyysityyppi	Aikaintegrointi	Kontaktitilan haku	Ulkoinen iterointi	Newton-iterointi
Lineaarinen staattinen analyysi	—	—	—	—
Epälineaarinen staattinen analyysi (ilman kontaktia)	—	—	—	Kyllä
Epälineaarinen staattinen analyysi (SLAGRANGE-kontakti)	—	Kyllä	—	Kyllä
Epälineaarinen staattinen analyysi (ALAGRANGE-kontakti)	—	Kyllä	Kyllä	Kyllä
Dynaaminen analyysi, implisiittinen	Newmark-β	—	—	Kyllä (epälineaarisena)
Dynaaminen analyysi, eksplisiittinen	Keskidifferenssi	—	—	—
Taajuusvasteanalyysi	Modaali-superpositio	—	—	—
Aikariippuva lämmönjohtuminen	Crank-Nicolson / taaksepäin Euler	—	—	Kyllä (kun materiaaliominaisuudet riippuvat lämpötilasta)
Stationäärinen lämmönjohtuminen	—	—	—	Kyllä (kun materiaaliominaisuudet riippuvat lämpötilasta)

Kontaktityypin ja itse algoritmin valinta on kuvattu kohdassa Kontakti ja upotus. Tällä sivulla kuvataan, miten valittu algoritmi järjestetään iteratiiviseksi silmukaksi.

Ratkaisukaavion valinta

Iteratiivinen rakenne määräytyy automaattisesti valitun analyysityypin (Analyysityypit), epälineaarisuuden olemassaolon tai puuttumisen (geometrinen epälineaarisuus, materiaalin epälineaarisuus tai kontakti) ja kontaktialgoritmin (SLAGRANGE tai ALAGRANGE) perusteella. Käyttäjä säätää suoraan iteraatiomäärien ylärajoja ja konvergenssikriteerejä.

Näitä asetuksia säädettäessä sovelletaan seuraavia ohjeita.

• Tavallisissa analyyseissä iteraatiomäärän oletusyläraja on yleensä riittävä. Jos vaikeasti konvergoituva ongelma saavuttaa iteraatioiden enimmäismäärän ilman konvergenssia, käytä ensin cutback-toimintoa (Vaiheohjaus); kasvata ylärajaa vain, jos tämä ei paranna konvergenssia.
• Säädä konvergenssikriteerejä analyysin vakauden ja laskenta-ajan tasapainottamiseksi. Tiukemmat kriteerit parantavat tasapainon tarkkuutta mutta lisäävät iteraatioiden määrää. Kontaktianalyyseissä ja Lagrangen kertoimia käyttävissä analyyseissä siirtymäinkrementti- tai Lagrange-kriteerin yhdistäminen residuaalikriteeriin voi parantaa vakautta.
• Dynaamisen analyysin aikaintegrointiparametreille (Newmark-β-kertoimet) aloita tavanomaisella arvoyhdistelmällä ja säädä niitä, kun värähtelyvasteen numeerisen vaimennuksen ominaisuuksia muutetaan.
• Aikariippuvan lämmönjohtumisen aikaintegrointikaaviossa käytä Crank-Nicolson-menetelmää tasaisesti muuttuville lämpötiloille ja taaksepäin Euler -menetelmää, kun jyrkät muutokset tai pitkän ajan vakaus ovat tärkeämpiä.

Newton-Raphson-iterointi staattisessa analyysissä

Epälineaarisessa staattisessa analyysissä geometrisen tai materiaalisen epälineaarisuuden sisältävät tasapainoyhtälöt ratkaistaan iteratiivisesti Newton-Raphson-menetelmällä. Kukin iteraatio etenee seuraavasti.

1. Laske residuaalivektori \(\boldsymbol{R}\) nykyisellä ratkaisulla.
2. Kokoa tangentiaalinen jäykkyysmatriisi \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Ratkaise lineaarinen järjestelmä \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) siirtymäkorjauksen \(\Delta \boldsymbol{u}\) saamiseksi.
4. Päivitä ratkaisu muotoon \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Vertaa konvergenssikriteereihin. Jos konvergenssi saavutetaan, lopeta iterointi; muussa tapauksessa palaa vaiheeseen 1.

Lineaariratkaisija suorittaa lineaarisen järjestelmän ratkaisun (vaihe 3). Ratkaisijan ja esikäsittelijän valinta on kuvattu kohdassa Ratkaisija ja esikäsittely.

Iterointia ohjataan !STEP-kohdan vaiheohjausparametreilla. Tärkeimmät ohjausarvot ovat seuraavat.

Tehtävä	Parametri
Iteraatioiden määrän yläraja. Jos raja saavutetaan ilman konvergenssia, aliaskeleeseen sovelletaan cutback-toimintoa.	MAXITER
Suhteelliseen residuaalinormiin perustuva konvergenssikriteeri.	CONVERG
Siirtymäkorjauksen normisuhteeseen perustuva konvergenssikriteeri. Käytetään yhdessä residuaalikriteerin kanssa vakauden parantamiseksi.	CONVERG_DDISP
Residuaalinormin hajaantumiskriteeri. Iterointi lopetetaan, kun tämä arvo ylitetään.	MAXRES

Vaiheohjauksen automaattisen inkrementin ja cutback-päätösten käyttämä Newton-iteraatioiden enimmäismäärä tarkoittaa tällä sivulla kuvattujen Newton-iteraatioiden määrää. Automaattinen inkrementtiohjaus kasvattaa aikainkrementtiä vähillä iteraatioilla konvergoituneen aliaskeleen jälkeen ja pienentää sitä paljon iteraatioita vaatineen aliaskeleen jälkeen.

Kontakti-iterointi staattisessa analyysissä

Kontaktianalyysissä kontaktitila muuttuu iteroinnin aikana kontaktipintojen kosketuksen, irtoamisen ja liukumisen vuoksi, joten Newton-iterointi yhdistetään kontaktitilan päivityksiin. Rakenne riippuu kontaktin ratkaisualgoritmista.

Molemmat algoritmit sijoittavat uloimmalle tasolle kontaktitilan hakusilmukan. Jokaisella silmukan kierroksella kontaktitila (kontakti/irtoaminen) arvioidaan uudelleen sisemmän Newton-iteroinnin konvergoiduttua. Jos tila on muuttunut, jäykkyysmatriisin rakenne päivitetään ja sisempi iterointi suoritetaan uudelleen. Silmukka päättyy, kun kontaktitila ei muutu edelliseen kierrokseen verrattuna ja kontaktin konvergenssikriteerit (kontaktivoima- ja Lagrangen kerroin -kriteerit) täyttyvät. Kierrosten yläraja määritetään !STEP-kohdan parametrilla MAXCONTITER.

SLAGRANGE-kontaktissa kontaktin vapausasteet sisällytetään lineaariseen järjestelmään tavallisella Lagrangen kerroinmenetelmällä. Tuloksena on kaksitasoinen rakenne, jossa Newton-iterointi on suoraan kontaktitilan hakusilmukan sisällä. Laajennettua Lagrange-iterointia ei käytetä.

ALAGRANGE-kontaktissa kontaktitilan hakusilmukan sisään lisätään laajennettu Lagrange-iterointi ja sen sisään Newton-iterointi, jolloin rakenne on kolmitasoinen. Jokaisessa laajennetussa Lagrange-iteraatiossa kontaktirajoite arvioidaan uudelleen sakkotermin ja Lagrangen kertoimen yhdistelmällä, jolloin rajoitteen tarkkuus paranee asteittain. Laajennettujen Lagrange-iteraatioiden yläraja määritetään !CONTACT_ALGO-kohdan parametrilla AUGITER.

Kontakti-iteroinnin ohjausarvot ovat seuraavat.

Tehtävä	Määritetään kohdassa
Kontaktitilan hakusilmukan iteraatioiden yläraja. Käytetään sekä SLAGRANGE- että ALAGRANGE-menetelmässä.	!STEP MAXCONTITER
Laajennettujen Lagrange-iteraatioiden yläraja. Käytetään vain ALAGRANGE-menetelmässä.	!CONTACT_ALGO AUGITER
Lagrangen kertoimen korjauksen konvergenssikriteeri. Käytetään kontaktianalyyseissä yhdessä residuaalikriteerin kanssa.	!STEP CONVERG_LAG

Vaiheohjauksen automaattisen inkrementin päätöksissä käytetty kontakti-iteraatioiden määrä tarkoittaa tällä sivulla kuvattujen iteraatioiden määrää kontaktitilan päivitykset mukaan lukien. Analyyseissä, joissa kontakti ja irtoaminen tapahtuvat usein, tarvitaan yleensä enemmän kontakti-iteraatioita, mikä vaikuttaa myös automaattisen inkrementin ja cutback-toiminnon päätöksiin. Kontaktityypit, parimääritykset ja algoritmin valinta on kuvattu kohdassa Kontakti ja upotus. Kontaktin vapausasteet sisältävän lineaarisen järjestelmän ratkaisu on kuvattu kohdassa Ratkaisija ja esikäsittely.

Aikaintegrointi dynaamisessa analyysissä (implisiittinen menetelmä)

Dynaamisen analyysin implisiittinen menetelmä käyttää Newmark-β-menetelmää yhdistämään seuraavan ajan siirtymän, nopeuden ja kiihtyvyyden kullakin aika-askeleella ja yhdistää nämä suhteet liikeyhtälöön ajan \(t + \Delta t\) tilan saamiseksi. Aika-askeleen \(\Delta t\) vakausrajoitus on lievä, joten matalataajuisten komponenttien hallitsemat rakennevasteet voidaan ratkaista tehokkaasti.

Käytössä ovat seuraavat kaksi aikaintegrointiparametria.

Parametri	Tehtävä
\(\beta\)	Siirtymän aika-interpolointiin liittyvä kerroin.
\(\gamma\)	Nopeuden aika-interpolointiin liittyvä kerroin.

Yhdistelmää \(\beta = 1/4\) ja \(\gamma = 1/2\) kutsutaan keskimääräisen kiihtyvyyden menetelmäksi. Se on tavallinen valinta, joka on ehdottomasti vakaa eikä sisällä numeerista vaimennusta. Numeerisen vaimennuksen lisäämiseksi valitse \(\gamma\) suuremmaksi kuin \(1/2\). Parametriyhdistelmien, vakauden ja virheominaisuuksien matemaattiset yksityiskohdat on esitetty teoriakäsikirjassa.

Kun mukana on epälineaarisuutta (geometrinen epälineaarisuus, materiaalin epälineaarisuus tai kontakti), Newton-iterointi suoritetaan jokaisen aika-askeleen sisällä; lineaarinen järjestelmä ratkaistaan iteraation aikana ja tila päivitetään. Konvergenssikriteerit käyttävät staattisen analyysin kanssa yhteisiä arvoja CONVERG ja siihen liittyviä arvoja. Kontaktia sisältävässä dynaamisessa analyysissä sama iteratiivinen rakenne kuin kohdassa Kontakti-iterointi staattisessa analyysissä sisällytetään jokaiseen aika-askeleeseen.

Dynaamisen analyysin aika-askelta ohjataan ensisijaisesti !STEP-kohdan aikaehdoilla. Kiinteillä inkrementeillä !STEP määrittää DTIME-arvon aika-askeleeksi ja ETIME-arvon vaiheen kestoksi. !DYNAMIC-kohdan arvoja n_step ja t_delta käsitellään oletuksina, kun !STEP puuttuu, sekä taaksepäin yhteensopivuuden vuoksi. Epälineaarisessa implisiittisessä menetelmässä !STEP ja INC_TYPE=AUTO ottavat käyttöön automaattiset inkrementit ja cutback-toiminnon, jolloin aika-askelta kasvatetaan tai pienennetään Newton- ja kontakti-iteraatioiden tilan mukaan. Käytetäänpä kiinteitä tai automaattisia inkrementtejä, aika-askel on asetettava sekä konvergenssi että vaadittu tarkkuus huomioon ottaen.

Aikaintegrointi dynaamisessa analyysissä (eksplisiittinen menetelmä)

Dynaamisen analyysin eksplisiittinen menetelmä käyttää keskeisdifferenssimenetelmää ja laskee seuraavan ajan tilan suoraan vain edellisen ajan siirtymä-, nopeus- ja kiihtyvyystiedoista. Koska samanaikaisia yhtälöitä ei ratkaista, laskentakustannus askelta kohti on pieni. Myös epälineaarisuuden yhteydessä jokainen aika-askel on yksivaiheinen päivitys ilman Newton-iterointia.

Aika-askeleella on järjestelmän pienimpään ominaisjaksoon perustuvan vakausehdon (CFL-ehto) asettama yläraja. Tämän rajan ylittävä aika-askel saa numeerisen ratkaisun hajaantumaan, joten implisiittisen menetelmän mahdollistamia suuria aika-askeleita ei voida käyttää. Eksplisiittinen menetelmä on edullinen esimerkiksi iskuissa, aallon etenemisessä ja nopeassa kontaktissa, joissa pienet aika-askeleet ovat luonnostaan tarpeen.

Kun kontakti sisältyy analyysiin, kontaktirajoitteet asetetaan Forward Increment Lagrange -menetelmällä. Kontaktivoimat arvioidaan tavalla, joka on yhdenmukainen eksplisiittisen menetelmän yksivaiheisen päivityksen kanssa.

Taajuusvasteanalyysin ratkaisumenetelmä

Taajuusvasteanalyysi määrittää jaksollisen stationäärisen vasteen suoraan taajuusalueessa modaali-superpositiomenetelmällä. Vaste arvioidaan herätetaajuutta muuttamalla, eikä aikahistoriaa tarvitse seurata iteraatioiden kautta. Epälineaarista iterointia eikä aikaintegrointia suoriteta.

Ennen taajuusvasteanalyysiä samalle järjestelmälle on suoritettava modaalianalyysi ja tarvittava määrä ominaismuotoja on poimittava. Vain lineaarisia malleja tuetaan; analyysiä ei voida suorittaa, kun geometrinen tai materiaalinen epälineaarisuus on käytössä. Tämän analyysityypin asema on kuvattu kohdassa Analyysityypit.

Ajan eteneminen ja epälineaarinen iterointi aikariippuvassa lämmönjohtumisessa

Aikariippuvalla lämmönjohtumisella on oma !HEAT-kohdan sisällä toteutettu aikasilmukkansa. Aika-askelta ohjataan rakenneanalyysin !STEP- ja !AUTOINC_PARAM-polusta erillään, ja kun materiaaliominaisuudet riippuvat lämpötilasta, jokaisen aika-askeleen sisällä suoritetaan epälineaarinen iterointi.

Aikaintegrointikaavio valitaan !HEAT-kohdan parametrilla \(\beta\).

\(\beta\)	Menetelmä	Ominaisuudet
0.5	Crank-Nicolson-menetelmä	Toisen kertaluvun tarkkuus. Sopii ongelmiin, joissa lämpötila muuttuu tasaisesti.
1.0	Taaksepäin Euler -menetelmä	Ensimmäisen kertaluvun tarkkuus. Ehdottomasti vakaa ja tarjoaa vakautta pitkäkestoisissa analyyseissä sekä jyrkissä lämpötilan muutoksissa.

Aika-askelta ohjataan adaptiivisesti yhdistämällä alkuperäinen aika-askel, pienin aika-askel ja suurin sallittu lämpötilan muutos askelta kohti. Jos lämpötilan muutos ylittää arvon DELTMX aika-askeleen laskennan jälkeen, aika-askelta pienennetään ja askel lasketaan uudelleen. Analyysi keskeytetään, jos aika-askel alittaa pienimmän aika-askeleen DTMIN.

Kun materiaaliominaisuudet riippuvat lämpötilasta, jokaisen aika-askeleen sisällä suoritetaan epälineaarinen iterointi. Iterointia ohjataan seuraavasti.

Tehtävä	Parametri
Epälineaaristen iteraatioiden yläraja.	!HEAT ITMAX
Konvergenssikriteeri.	!HEAT EPS

Stationäärinen lämmönjohtuminen ei käytä aika-askelia; vain epälineaarinen iterointi suoritetaan, kun materiaaliominaisuudet riippuvat lämpötilasta. Koska lämmönjohtumisanalyysin aikaohjaus on riippumaton rakenneanalyysin !STEP-kohdasta, tarkista !HEAT-asetukset aika-askelta säädettäessä.

Aiheeseen liittyvät kohdat

• Analyysityypit — Kunkin analyysityypin asema.
• Kontakti ja upotus — Kontaktityyppien, parimääritysten ja ratkaisualgoritmien valinta.
• Ratkaisija ja esikäsittely — Newton-iteroinnin aikana kutsuttujen lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisu.
• Vaiheohjaus — Ulompi vaihe-/aliasaskelohjaus sekä automaattiset inkrementit/cutback.
• Newton-Raphson-menetelmä (teoria) — Iteratiivisen ratkaisumenetelmän formulointi.
• Konvergenssikriteerit (teoria) — Konvergenssi-indikaattorien matemaattiset määritelmät.
• Dynaamisen analyysin menetelmät (teoria) — Newmark-β- ja keskeisdifferenssimenetelmien formulointi.
• Aikariippuva lämmönjohtumisanalyysi (teoria) — Lämmönjohtumisen aikaintegroinnin formulointi.
• Kontaktianalyysi (teoria) — Lagrangen kerroinmenetelmän formulointi.
• Avainsanaviite: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.