Lämmönjohtumisyhtälö

Tässä luvussa esitetään kontinuumitasolla FrontISTR:n käsittelemän lämmönjohtumisen hallitseva yhtälö ja sen reunaehdot. Aikadiskretointi ja FEM-diskretointi käsitellään diskretointiosassa (L3d) ja ratkaisualgoritmiosassa (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Hallitseva yhtälö

Jatkumon lämmönjohtumisyhtälö on seuraava.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Tässä \(\rho=\rho(x)\) on massatiheys, \(c=c(x,T)\) ominaislämpökapasiteetti, \(T=T(x,t)\) lämpötila, \(k=k(x,T)\) lämmönjohtavuus, \(Q=Q(x,T,t)\) lämmöntuotto, \(x\) paikka ja \(t\) aika. \(k_x, k_y, k_z\) ovat anisotrooppisen lämmönjohtumisen lämmönjohtavuudet vastaavissa suunnissa.

Lämpöominaisuuksien tarkemmat tiedot, mukaan lukien lämpötilariippuvuus ja anisotropia, ovat kohdassa Lämpöominaisuudet.

Reunaehdot

Olkoon tarkasteltava alue \(S\) ja sen raja \(\Gamma\). Oletetaan, että kaikkialla rajalla \(\Gamma\) on määrätty joko Dirichlet-tyyppinen tai Neumann-tyyppinen reunaehto. Tällöin reunaehdot ovat seuraavat.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Tässä funktiomuotojen \(T_1\) ja \(q\) oletetaan olevan tunnettuja. \(q\) on rajalta ulospäin suuntautuva lämpövuo. Rajan lämpövuo \(q\) koostuu seuraavista kolmesta komponentista.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Tässä \(q_s\) on jakautunut lämpövuo, \(q_c\) konvektiivisen lämmönsiirron aiheuttama lämpövuo ja \(q_r\) säteilylämmönsiirron aiheuttama lämpövuo.

Tässä \(Tc=Tc(x,t)\) on konvektiivisen lämmönsiirron ympäristölämpötila, \(hc=hc(x,t)\) konvektiivinen lämmönsiirtokerroin, \(Tr=Tr(x,t)\) säteilylämmönsiirron ympäristölämpötila, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) säteilylämmönsiirtokerroin, \(\varepsilon\) emissiivisyys, \(\sigma\) Stefan–Boltzmannin vakio ja \(F\) näkymäkerroin.

Näiden ehtojen määrittäminen syötetiedostossa kuvataan toimintoviitteen kohdassa Reunaehdot ja kuormat.

Heikko muoto

Kytkentä rakenneanalyysiin

Liittyvät aiheet

• Transientti lämmönjohtuminen — Aikadiskretointi ja epälineaarinen iterointi
• Lämpöominaisuudet — Materiaaliominaisuuksien ja lämpötilariippuvuuden formulointi
• Muotofunktiot ja äärellisten elementtien approksimaatio — FEM-diskretoinnin kehys
• Toimintoviite: Reunaehdot ja kuormat — Lämmönjohtumisanalyysin reunaehtojen syöttö