Hyppää sisältöön

Virtuaalisen työn periaate

Kohdassa Jännitys ja säilymislait johdetun tasapainoyhtälön ja reunaehtojen perusteella johdetaan virtuaalisen työn periaate, joka on kontinuumimekaniikan reuna-arvo-ongelman heikko muoto. Äärellisten elementtien diskretointi alkaa tästä heikosta muodosta. Tässä luvussa esitetään sekä nykykonfiguraatiossa kirjoitettu muoto (Cauchyn jännityksen ja Almansi-venymän lineaarisen osan avulla) että referenssikonfiguraatiossa kirjoitettu muoto (toisen Piola–Kirchhoffin jännityksen ja Green–Lagrangen venymän avulla), osoitetaan niiden ekvivalenssi ja lopuksi tarkastellaan pelkistymistä pienten muodonmuutosten tapaukseen.

Tasapainoyhtälö ja reunaehdot

Olkoon \(\boldsymbol{g}\) jatkumoon massayksikköä kohti vaikuttava tilavuusvoima ja tarkastellaan nykykonfiguraatiossa aluetta \(\Omega\) täyttävää kappaletta. Raja \(\Gamma\) jaetaan geometriseen rajaan \(\Gamma_B\), jolla siirtymä on määrätty arvoksi \(\bar{\boldsymbol{u}}\), ja mekaaniseen rajaan \(\Gamma_t\), jolla pintavoima on määrätty arvoksi \(\bar{\boldsymbol{t}}\), siten että \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ja \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Staattisessa ongelmassa tasapainoyhtälö saadaan jättämällä hitaustermi pois kohdassa Jännitys ja säilymislait esitetystä liikemäärän säilymislaista:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{alueella} \ \Omega \]

Reunaehdot ovat

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{rajalla} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{rajalla} \ \Gamma_B \]

Jäljempänä virtuaalisen työn periaate johdetaan tasapainoyhtälön ja mekaanisen reunaehdon \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) heikkona muotona. Geometrinen reunaehto \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) sisällytetään testifunktion valinnan kautta.

Heikko muoto nykykonfiguraatiossa

Heikossa muodossa tuntemattoman siirtymän sallittu avaruus ja testifunktioavaruus määritellään vastaavasti seuraavasti

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{rajalla} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{rajalla} \ \Gamma_B \} \]

Tässä \(d\) on avaruuden ulottuvuus, \(H^1(\Omega)\) on sellaisten funktioiden Sobolev-avaruus, jotka yhdessä ensimmäisten heikkojen derivaattojensa kanssa ovat neliöintegroituvia, ja \(\delta\) tarkoittaa variaatiota. Nykykonfiguraation esityksessä \(\Omega\) on muodonmuuttunut konfiguraatio; varsinaisessa numeerisessa ratkaisussa se vedetään takaisin referenssikonfiguraatioon tai tunnettuun välikonfiguraatioon.

Kun tasapainoyhtälö kerrotaan painofunktiolla \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ja sovelletaan Gaussin divergenssilausetta sekä mekaanista reunaehtoa, saadaan seuraava nykykonfiguraation virtuaalisen työn periaate.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Tässä \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) on Almansi-venymätensorin lineaarinen osa, joka määritellään seuraavasti

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Sen variaatio on \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Etsitään siis \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) siten, että virtuaalisen työn yhtälö toteutuu kaikilla \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Vasen puoli on sisäisten voimien virtuaalinen työ ja oikea puoli määrätyn pintavoiman ja tilavuusvoiman aiheuttama ulkoisten voimien virtuaalinen työ.

Koska tämä yhtälö on kirjoitettu muodonmuuttuneelle (nykykonfiguraation) alueelle, varsinaisessa ratkaisumenettelyssä alkukonfiguraatio \(\Omega_0\) (referenssikonfiguraatio) tai tunnettu välikonfiguraatio valitaan uudelleen referenssikonfiguraatioksi, yhtälö kirjoitetaan inkrementaaliseen muotoon ja ratkaistaan. Referenssikonfiguraation tarkka valinta (Total Lagrange / Updated Lagrange) ja inkrementtijako on kuvattu kohdassa Inkrementaalisen analyysin kehys.

Heikko muoto alkukonfiguraatiossa

Tarkastellaan referenssikonfiguraatiossa aluetta \(\Omega_0\) täyttävää kappaletta, jonka raja \(\Gamma_0\) on jaettu osiin \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Kun nykykonfiguraation esitys vedetään takaisin referenssikonfiguraatioon, saadaan työn suhteen konjugaattipari: toinen Piola–Kirchhoffin jännitys \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymä \(\boldsymbol{E}\). Alkukonfiguraation virtuaalisen työn periaate on tällöin

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Tässä \(\rho_0\) on referenssikonfiguraation massatiheys, ja massan säilymisen relaation \(\rho_0 = J\rho\) perusteella tämä vastaa nykykonfiguraation tilavuusvoimaesitystä.

Nyky- ja alkukonfiguraation esitysten ekvivalenssi

Kahden esityksen sisäisten voimien virtuaalinen työ on sama muodonmuutosgradientin \(\boldsymbol{F}\) ja tilavuussuhteen \(J = \det \boldsymbol{F}\) avulla tehtävän muunnoksen kautta, eli

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Myös ulkoisten voimien termit ovat ekvivalentit massan säilymisen ja pintavoiman muunnoksen perusteella. Nykykonfiguraation ja alkukonfiguraation virtuaalisen työn yhtälöt ilmaisevat siis saman periaatteen eri konfiguraatioissa. Referenssikonfiguraatioon viittaava ratkaisumenetelmä vastaa Total Lagrange -menetelmää, kun taas nykykonfiguraatioon (välittömästi edeltävään konvergoituneeseen konfiguraatioon) viittaava ratkaisumenetelmä vastaa Updated Lagrange -menetelmää.

Pelkistyminen pienten muodonmuutosten tapaukseen

Kun pienten muodonmuutosten oletukset \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ja \(J \approx 1\) pätevät, nyky- ja referenssikonfiguraation ero häviää, toinen PK-jännitys yhtyy Cauchyn jännitykseen (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ja sekä Green–Lagrangen venymä että Almansi-venymän lineaarinen osa pelkistyvät infinitesimaaliseksi venymäksi \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Virtuaalisen työn periaate pelkistyy tällöin Cauchyn jännityksellä \(\boldsymbol{\sigma}\) ja infinitesimaalisella venymällä \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ilmaistuksi heikoksi muodoksi:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{rajalla} \ \Gamma_B \]

Tätä heikkoa muotoa käytetään suoraan diskretoinnissa pienten muodonmuutosten lineaarielastisessa staattisessa analyysissä (Lineaarielastinen staattinen analyysi (johdanto ja liite) lähtee tästä muodosta ja esittää elementtijäykkyyden \(\boldsymbol{K}^e\) muodostamisen kokoamalla globaali yhtälö \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Kun sijoitetaan lineaarielastinen konstitutiivinen laki \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ja kirjoitetaan Voigtin merkintätavassa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), heikko muoto on

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

joka on tätä muotoa.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status