Hyppää sisältöön

Tensorimerkintä ja matemaattiset perusteet

Tässä luvussa kootaan FrontISTRin teoriaoppaan myöhemmissä luvuissa käytettävät tensorimerkinnän, indeksimerkinnän ja Voigt-merkinnän käytännöt. Tässä kuvataan vain puhtaat merkintäsäännöt, jotka eivät riipu fysikaalisten suureiden määritelmistä. Jatkuvan aineen liikkeeseen liittyvästä konfiguraatiosta (referenssi-/nykykonfiguraatio) riippuvat merkintäkäytännöt, kuten isojen ja pienten kirjainten sekä materiaalisten ja avaruudellisten derivaattojen ero, esitetään kohdassa Liike, muodonmuutos ja venymä, jossa konfiguraation käsite otetaan käyttöön.

Tensorimerkintä

Lihavoitu vektori- ja tensorimerkintä

Typografisena käytäntönä skalaarisuureet sekä vektorien ja tensorien komponentit kirjoitetaan normaalilla kirjasimella (kuten \(\rho\) ja \(x_i\)), kun taas vektori- ja tensorisuureet itsessään kirjoitetaan lihavoituina (kuten \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) ja \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteinin summaussääntö

Ellei toisin ilmoiteta, käytetään Einsteinin summaussääntöä: kun sama indeksi esiintyy samassa termissä kahdesti, summataan tämän indeksin yli. Esimerkiksi

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ja tensorien \(\boldsymbol{A}\) ja \(\boldsymbol{B}\) tulon \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) komponentti \(i,j\) on

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Indeksikäytäntönä \(i, j, k, l, \ldots\) tarkoittavat ilman muuta määrettä vapausasteisiin liittyviä indeksejä (\(1, 2, 3\) kolmiulotteisessa tapauksessa), kun taas indekseinä käytetyt pienet kreikkalaiset kirjaimet \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) tarkoittavat elementin muodostaviin solmuihin liittyviä indeksejä.

Sisätulo, transpoosi ja tensoritulo

Tensorin \(\boldsymbol{A}\) transpoosia merkitään \(\boldsymbol{A}^T\). Toisen kertaluvun tensorien \(\boldsymbol{A}\) ja \(\boldsymbol{B}\) sisätulo (kaksoiskontraktio) kirjoitetaan muodossa

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vektorien \(\boldsymbol{a}\) ja \(\boldsymbol{b}\) sisätulo on \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ja niiden tensoritulo on \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-merkintä

Jännitys ja venymä ovat vapausasteiden suhteen symmetrisiä toisen kertaluvun tensoreita, ja niiden välistä lineaarista yhteyttä kuvaavat kertoimet muodostavat neljännen kertaluvun tensorin. Niiden suora käsittely ohjelmassa on epäedullista laskentakustannuksen ja ohjelmoinnin kannalta (moniulotteiset taulukot ja syvästi sisäkkäiset silmukat). Siksi yleiset äärellisten elementtien ohjelmat hyödyntävät symmetriaa ja pakkaavat jännityksen ja venymän sarakevektoreiksi sekä neljännen kertaluvun elastisuustensorin kaksiulotteiseksi matriisiksi. Tätä kutsutaan Voigt-merkinnäksi.

Seuraavassa tensorisuureen \(\boldsymbol{A}\) matriisi- tai vektoriesitystä merkitään \(\hat{A}\), jotta se voidaan erottaa alkuperäisestä tensorista.

Jännityksen ja venymän vektoriesitys

Symmetriselle jännitystensorille \(\boldsymbol{\sigma}\) ja venymätensorille \(\boldsymbol{\varepsilon}\) kaksiulotteisessa tapauksessa

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

kolmiulotteisessa tapauksessa

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

niitä käsitellään yllä esitetyllä tavalla sarakevektoreina. Sama sääntö pätee johdettuihin suureisiin, kuten variaatioihin ja differentiaaleihin. Huomaa, että venymäpuolen leikkauskomponenteilla on kerroin 2 (jännityspuolella ei). Tämän epäsymmetrian ansiosta tensorien sisätulo voidaan kirjoittaa tiiviisti vektorien sisätulona

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Toteutuksessa leikkausvenymäkomponenttien kerroin 2 on helppo käsitellä väärin, joten käytäntö "jännityksellä ei / venymällä kyllä" on aina pidettävä mielessä. Täsmälleen samaa Voigt-käytäntöä sovelletaan referenssikonfiguraation suureisiin (toinen Piola–Kirchhoffin jännitys \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymä \(\boldsymbol{E}\)).

Neljännen kertaluvun tensorin matriisiesitys

Jännityksen ja venymän lineaariselle yhteydelle \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponenttimuodossa \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) saadaan \(\boldsymbol{\varepsilon}\):n symmetriaa käyttäen

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Kolmiulotteisessa tapauksessa, kun \(\tilde{C}\) järjestetään 6×6-materiaalimatriisiksi \(\hat{\tilde{C}}\), alkuperäinen tensoriyhteys voidaan ilmaista muodossa

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Jäljempänä tässä oppaassa materiaalimatriisia merkitään, ellei toisin ilmoiteta, \(D\):llä (tai \(\hat{C}\):llä). Isotrooppisen lineaarisen elastisuuden yksittäiset komponentit ovat kohdassa Lineaarinen elastisuus.

Differentiaalioperaattoreiden käytännöt

Symmetrinen gradienttioperaattori

Vektorikentän \(\boldsymbol{u}\) symmetrinen gradienttioperaattori \(\nabla_S\) määritellään muodossa

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponenttimuodossa \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Infinitesimaalisen muodonmuutoksen venymä \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) voidaan ilmaista tiiviisti tällä operaattorilla. Äärellisessä muodonmuutoksessa gradienttien ottamiseen käytettävien konfiguraatioiden (referenssi/nykyinen) ero käsitellään kohdassa Liike, muodonmuutos ja venymä.

Materiaalinen aikaderivaatta

Suureen \(A\) materiaalista aikaderivaattaa (saman materiaalipisteen mukana seurattua aikaderivaattaa) merkitään yläpuolisella pisteellä, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Nopeus ja kiihtyvyys noudattavat tätä käytäntöä.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status