Hyppää sisältöön

Viruminen

Tässä luvussa kuvataan FrontISTRin käyttämä virumisen konstitutiivinen laki. Valintaa ja syöttömäärityksiä koskevat yksityiskohdat ovat Toiminnot-osan kohdassa 03_material.

Virumisilmiö ja additiivinen venymähajotelma

Ajasta riippuvaa siirtymää vakiojännityksen alaisena kutsutaan virumiseksi.

Edellä kuvattua viskoelastista käyttäytymistä voidaan myös pitää eräänlaisena lineaarisena virumisilmiönä. Tässä kuvataan useita epälineaarisia virumiskäyttäytymisiä. Yleinen lähestymistapa on formuloida konstitutiivinen yhteys lisäämällä tämä käyttäytyminen hetkellisesti syntyvään venymään, ja määritellä annetun vakion kuormituksen jatkuessa kumuloituva venymä virumisvenymäksi \(\varepsilon^c\). Virumisen sisältävä konstitutiivinen yhteys ilmaistaan yleensä virumisvenymän nopeuden \(\dot{\varepsilon}^c\) avulla; se määritellään jännityksen ja kokonaisvirumisvenymän funktioksi.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Jos hetkellisesti syntyvä venymä on elastinen venymä \(\varepsilon^e\), kokonaisvenymä ilmaistaan seuraavana summana, johon sisältyy virumisvenymä.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

missä

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) on elastisuustensori).

Nortonin laki

FrontISTR käyttää erityisenä virumisen konstitutiivisena lakina seuraavaa Norton-mallia. Tässä konstitutiivisessa laissa ekvivalentin virumisvenymän nopeus \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) ilmaistaan von Mises -jännityksen \(q\) ja ajan \(t\) funktiona seuraavasti.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Tässä \(A\), \(m\) ja \(n\) ovat materiaalivakioita.

Aikaintegrointi ja jännityksen päivitys

Kuten plastisille materiaaleille, myös virumista kuvaavalle konstitutiiviselle laille on määritettävä numeerinen aikaintegrointimenetelmä. Konstitutiivinen yhteys viruminen huomioon otettuna on

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

missä \(\beta_{n+\theta}\) on

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Virumisvenymän inkrementti \(\Delta \varepsilon^c\) määritellään tällöin seuraavalla yksinkertaistetulla epälineaarisella yhtälöllä:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

joka asetetaan nollaksi.

Newton–Raphson-iteroinnissa, kun alkujännitykseksi otetaan \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ja käytetään äärellisten elementtien menetelmällä saatua venymäinkrementtiä, iteratiivinen ratkaisu ja inkrementti ovat

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

missä

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

ja Kun iteraatiota jatketaan, kunnes residuaali \(R\) on \(\mathbf{0}\), käytetään jännitystä \(\sigma_{n+1}\) ja tangenttimoduulia

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

käytetään.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status