Hyppää sisältöön

Muotofunktiot ja äärellisten elementtien approksimaatio

Jotta virtuaalisen työn periaatteen heikko muoto voidaan käsitellä laskennallisesti, kappaleen alue jaetaan äärelliseen määrään elementtejä, ja materiaalipisteiden koordinaatit, siirtymä ja testifunktio kunkin elementin sisällä interpoloidaan solmuarvoista ja muotofunktioista. Muotofunktioiden avaruusderivaatat käsitellään luvussa Muotofunktioiden avaruusderivaatat, heikon muodon diskretointi luvussa Sisäisen virtuaalityön diskretointi ja kunkin elementtityypin muotofunktioiden täsmälliset muodot luvussa Elementtien numerointijärjestelmä ja muotofunktiokirjasto sekä sitä seuraavissa luvuissa.

Alueen jako ja integraalien elementtikohtaiset summat

Referenssikonfiguraation alue \(\Omega_0\) ja nykyisen konfiguraation alue \(\Omega\) approksimoidaan vastaavasti elementtien \(\Omega^e_0\) ja \(\Omega^e\) yhdisteinä:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) on elementin numero, ja vierekkäiset elementit jakavat elementtirajat.) Tällöin virtuaalisen työn periaatteessa esiintyvät tilavuus- ja pintaintegraalit voidaan hajottaa yksittäisten elementtien integraalien summiksi:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Sama pätee nykyiseen konfiguraatioon korvaamalla \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) ja \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Tästä eteenpäin heikon muodon evaluointi palautuu integraalien muodostamiseen elementti kerrallaan.

Interpolointi solmuarvoilla ja muotofunktioilla (isoparametriset elementit)

Kullekin elementille \(\Omega^e_0\) annetaan \(n_e\) solmua. Olkoot elementtisolmun \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) referenssikonfiguraation koordinaatit ja solmusiirtymät \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Elementin solmuvektorit \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ja \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) muodostetaan järjestämällä nämä arvot; elementille \(e\) ne sisältävät vain elementin muodostavien solmujen komponentit, jotka poimitaan globaaleista solmuvektoreista \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) on solmujen kokonaismäärä).

Käyttämällä elementin sisäisiä paikallisia koordinaatteja eli luonnollisia koordinaatteja \(\boldsymbol{r}\) parametreina muotofunktiot \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpoloivat materiaalikoordinaatit, siirtymän ja testifunktion elementin sisällä samoilla muotofunktioilla (isoparametrinen elementti ja Galerkinin menetelmä):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Muotofunktiot muodostetaan täyttämään seuraavat kaksi ominaisuutta, ja elementin geometria valitaan siten, että kuvaus \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) luonnollisista koordinaateista materiaalikoordinaatteihin on yksi-yhteen elementin sisällä:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) on solmua \(\alpha\) vastaava piste luonnollisissa koordinaateissa ja \(\delta_{\alpha\beta}\) on Kroneckerin delta.) Ensimmäinen yhtälö takaa jäykän kappaleen translaation toistumisen, ja toinen takaa, että interpoloitu arvo yhtyy solmuarvoon jokaisessa solmussa. Kunkin elementtityypin \(n_e\):n ja \(N_\alpha^e\):n täsmälliset muodot annetaan luvussa Elementtien numerointijärjestelmä ja muotofunktiokirjasto ja sitä seuraavissa luvuissa. Merkinnän kömpelyyden välttämiseksi riippuvuus elementtityypistä esitetään elementtikohtaisella yläindeksillä \(e\).

Edellä esitetyillä interpolointisäännöillä heikon muodon integrandi voidaan ilmaista pelkästään elementin solmuarvojen \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ja \(N_\alpha^e\):n avulla. Venymä johdetaan puolestaan interpoloidusta siirtymästä ja venymä–siirtymä-yhteydestä, kun taas jännitys johdetaan tästä venymästä ja materiaalin konstitutiivisesta laista; näitä suureita ei interpoloida suoraan solmuarvoista. Ne arvioidaan elementin integraatiopisteissä (Numeerinen integrointi).

Globaalien solmuvektorien järjestyssääntö

Solmuille määritetyt fysikaaliset suureet järjestetään globaaliin solmuvektoriin nousevassa järjestyksessä solmun numero → vapausaste. Jos solmun \(\alpha\) vapausastekomponenttia \(i\) merkitään \(u_{i\alpha}\), niin kolmiulotteisessa (\(i=1,2,3\)) ja kaksiulotteisessa (\(i=1,2\)) tapauksessa vastaavasti

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinaatit \(\boldsymbol{X}^n\) ja testifunktio \(\delta\boldsymbol{u}^n\) noudattavat samaa järjestystä. Tästä eteenpäin matriisi- ja vektorimuotoiset johdot esitetään kolmiulotteinen tapaus edustavana tapauksena.

Aiheeseen liittyvät luvut

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status