Hyppää sisältöön

Muotofunktioiden spatiaaliderivaatat

Kohdassa Muotofunktiot ja elementtimenetelmän approksimaatio esitetyt muotofunktiot \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) annetaan luonnollisten koordinaattien \(\boldsymbol{r}\) funktioina; nämä ovat elementin paikalliset koordinaatit. Venymä-siirtymäyhteyden kautta heikon muodon integroitavat lausekkeet sisältävät kuitenkin osittaisderivaattoja fysikaalisten koordinaattien suhteen (referenssikonfiguraatio \(\boldsymbol{X}\) tai nykyinen konfiguraatio \(\boldsymbol{x}\)), eli \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) tai \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Tässä osassa jäsennetään menettely näiden muotofunktioiden spatiaaliderivaattojen laskemiseksi elementin solmukoordinaateista ja luonnollisten koordinaattien suhteen otetuista derivaatoista.

Spatiaaliderivaattojen esitys ketjusäännöllä

Kun interpolointikaavaan \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (edellinen osa) sovelletaan ketjusääntöä ja käytetään luonnollisista koordinaateista fysikaalisiin koordinaatteihin kuvaavan muunnoksen Jacobin matriisia \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\), saadaan

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Tässä \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ja \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ovat matriiseja, joissa rivi \(\alpha\) esittää solmun \(\alpha\) osittaisderivaattojen vektoria; kumpikin on kooltaan \(n_e \times 3\).

Jacobin matriisin muodostaminen

Kun interpolointikaava derivoidaan \(\boldsymbol{r}\):n suhteen, saadaan

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Näin Jacobin matriisi voidaan muodostaa suoraan elementin solmukoordinaateista \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ja luonnollisten koordinaattien derivaatoista \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Luonnollisten koordinaattien derivaatat määräytyvät muotofunktioiden funktionaalisen muodon perusteella, ja ne on toteutettu valmiiksi kullekin elementtityypille.

Jacobin matriisin determinanttia \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) käytetään numeerisessa integroinnissa tilavuuselementin muuntamiseen muodossa \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Jos determinantti on \(0\), elementti on degeneroitunut ja laskenta epäonnistuu.

Laskentakulku

Edellä johdetun perusteella spatiaaliderivaattojen \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) laskenta voidaan jakaa seuraaviin neljään vaiheeseen.

  1. Laske luonnollisten koordinaattien derivaatat: Käytä syötteenä elementtityyppiä ja arviointipisteen luonnollisia koordinaatteja \(\boldsymbol{r}\) ja laske luonnollisten koordinaattien derivaattojen matriisi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Koska muotofunktioiden funktionaalinen muoto vaihtelee elementtityypin mukaan, käsittely haarautuu elementtityypin perusteella.
  2. Laske Jacobin matriisi: Muodosta elementin solmukoordinaateista \(\boldsymbol{X}^e\) ja matriisista \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) Jacobin matriisi \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) edellisen osan yhtälön avulla.
  3. Laske käänteismatriisi ja determinantti: Laske Jacobin matriisin käänteismatriisi \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ja determinantti. Determinanttia käytetään numeerisen integroinnin painotuksessa.
  4. Laske spatiaaliderivaatat: Muodosta spatiaaliderivaatat \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matriisien \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ja \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) tulona.

Nämä neljä vaihetta haarautuvat elementtityypin ja avaruusdimension (kaksi tai kolme ulottuvuutta) mukaan, mutta kokonaiskulku on yhteinen.

Referenssi- ja nykykonfiguraation yhteinen käsittely

Edellä kuvattua menettelyä voidaan soveltaa myös korvaamalla \(\boldsymbol{X}^e\) nykyisillä solmukoordinaateilla \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), jolloin saadaan nykykonfiguraation spatiaaliderivaatat \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). Näin samaa menettelyä voidaan käyttää sekä Total Lagrangian- että Updated Lagrangian -formuloinneissa vaihtamalla ainoastaan syötteen solmukoordinaatit.

Aiheeseen liittyvät kohdat

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status