Hyppää sisältöön

Dynaamisen analyysin menetelmät

Tässä osassa kuvataan dynaamisten ongelmien analyysimenetelmät, joissa käytetään suoraa aikaintegrointia. Implisiittisen ja eksplisiittisen menetelmän formuloinnit esitetään alla.

Liikeyhtälön diskretisointi (yhteinen kehys)

TBD (täydennetään seuraavassa vaiheessa).

Implisiittinen menetelmä (Newmark-β-menetelmä)

Dynaamisissa ongelmissa alla esitetty liikeyhtälö ratkaistaan suoralla aikaintegrointimenetelmällä.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Tässä \(M\) on massamatriisi, \(C\) vaimennusmatriisi, \(Q\) sisäisten voimien vektori ja \(F\) ulkoisten voimien vektori. Massamatriisin oletetaan pysyvän vakiona muodonmuutoksesta riippumatta myös epälineaarisessa analyysissä.

Siirtymän, nopeuden ja kiihtyvyyden muutokset aikainkrementin \(\Delta t\) aikana approksimoidaan Newmark-\(\beta\)-menetelmällä yhtälöiden \(\eqref{eq:2.5.2}\) ja \(\eqref{eq:2.5.3}\) mukaisesti.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Tässä \(\gamma\) ja \(\beta\) ovat Newmark-\(\beta\)-menetelmän parametreja.

Kuten tunnettua, seuraavat arvot parametreille \(\gamma\) ja \(\beta\) vastaavat järjestyksessä lineaarisen kiihtyvyyden menetelmää ja trapetsimenetelmää.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineaarisen kiihtyvyyden menetelmä)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapetsimenetelmä)

Kun yhtälöt \(\eqref{eq:2.5.2}\) ja \(\eqref{eq:2.5.3}\) sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.5.1}\), saadaan seuraava yhtälö.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Erityisesti lineaarisessa ongelmassa \(K_L\) on lineaarinen jäykkyysmatriisi ja \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Kun tämä yhteys sijoitetaan edelliseen yhtälöön, saadaan seuraava yhtälö.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Kohdissa, joissa kiihtyvyys on määrätty geometrisena reunaehtona, siirtymä saadaan yhtälöstä \(\eqref{eq:2.5.2}\) seuraavasti.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Vastaavasti kohdissa, joissa nopeus on määrätty, siirtymä saadaan yhtälöstä \(\eqref{eq:2.5.6}\) seuraavasti.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Tässä \(u_{is}(t+\Delta{t})\) on solmun siirtymä ajanhetkellä \(t+\Delta{t}\), ja \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) on solmun nopeus ajanhetkellä \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) on solmun kiihtyvyys ajanhetkellä \(t+\Delta{t}\), \(i\) on solmun vapausasteen numero ja \(s\) solmun numero. Massa- ja vaimennustermit käsitellään seuraavasti.

Massatermin käsittely

Periaatteessa massamatriisia käsitellään lumped-massamatriisina.

Vaimennustermin käsittely

Vaimennustermi käsitellään Rayleigh-vaimennuksena, joka ilmaistaan yhtälöllä \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Tässä \(R_m\) ja \(R_k\) ovat Rayleigh-vaimennuksen parametreja.

Kortilla !DYNAMIC määritettyjä arvoja \(R_m\) ja \(R_k\) sovelletaan yhtenäisesti koko malliin. Jos kullekin materiaalille halutaan antaa eri \(R_m\)- ja \(R_k\)-arvot, määritä kortti !MATERIAL kyseisen materiaalin !DAMPING-lohkon sisällä. Materiaaliin kuuluville elementeille, joille !DAMPING on määritetty, elementin vaimennusmatriisi lasketaan muodossa \(M_i\) elementin massamatriisista \(K_i\) ja tangentiaalisesta jäykkyysmatriisista \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), ja se kootaan globaaliin vaimennusmatriisiin. Tämä toiminto vaikuttaa vain implisiittisessä menetelmässä.

Eksplisiittinen menetelmä (keskeisdifferenssimenetelmä)

Eksplisiittinen menetelmä perustuu alla esitettyyn ajanhetken t liikeyhtälöön.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Kun ajanhetkien \(t + \Delta t\) ja \(t - \Delta t\) siirtymät esitetään Taylorin sarjakehitelminä ajanhetken \(t\) ympärillä ja säilytetään termit \(\Delta t\):n toiseen kertalukuun asti, saadaan seuraavat yhtälöt.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Kun yhtälöistä \(\eqref{eq:2.5.3}\) ja \(\eqref{eq:2.5.4}\) muodostetaan erotus ja summa, saadaan seuraavat yhtälöt.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Kun yhtälöt \(\eqref{eq:2.5.12}\) ja \(\eqref{eq:2.5.13}\) sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.5.9}\), saadaan seuraava yhtälö.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Erityisesti lineaarisessa ongelmassa \(Q(t) = K_L U(t)\), jolloin edellinen yhtälö saa muodon

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Jos massamatriisi \(M\) valitaan lumped-massamatriisiksi ja vaimennusmatriisi verrannolliseksi vaimennusmatriisiksi \(C = R_m M\), yhtälö \(\eqref{eq:2.5.15}\) ei edellytä samanaikaisten yhtälöiden ratkaisemista.

Näin ollen yhtälöstä \(\eqref{eq:2.5.15}\) voidaan määrittää \(U(t+\Delta t)\) seuraavalla yhtälöllä.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Aiheeseen liittyvät kohdat

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status