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張量表示法與數學基礎

本章彙整 FrontISTR 理論手冊後續章節所使用的張量表示法、指標表示法與 Voigt 表示法規約。此處僅說明不依賴物理量定義的純表示規則。與連續體運動中的構形（參考構形／當前構形）相關的符號規約（大寫與小寫的區分、物質導數與空間導數的區分），則置於介紹構形概念的運動、變形與應變中。

張量表示法

使用粗體表示向量與張量

作為字體規約，純量以及向量、張量的分量以一般字體（例如 \(\rho\)、\(x_i\)）表示，而向量、張量量本身則以粗體（例如 \(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{E}\)、\(\boldsymbol{\sigma}\)）表示。

Einstein 求和規約

除非另有說明，當相同指標在同一項中出現2次時，採用對該指標求和的 Einstein 求和規約。例如

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

而張量 \(\boldsymbol{A}\)、\(\boldsymbol{B}\) 的乘積 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) 的 \(i,j\) 分量為

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

指標規約如下：除非另有說明，當 \(i, j, k, l, \ldots\) 用作指標時，表示與自由度相關的指標（3維時為 \(1, 2, 3\)）；當希臘小寫字母 \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) 用作指標時，表示與組成元素的節點相關的指標。

內積、轉置與張量積

張量 \(\boldsymbol{A}\) 的轉置表示為 \(\boldsymbol{A}^T\)。二階張量 \(\boldsymbol{A}\)、\(\boldsymbol{B}\) 的內積（雙重縮約）表示為

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

向量 \(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{b}\) 的內積為 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\)，張量積為 \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)。

Voigt 表示法

應力與應變是相對於自由度的二階對稱張量，而表示兩者線性關係的係數則為四階張量。若直接在程式中處理，在計算量與程式撰寫（多維陣列、深層巢狀迴圈）方面都較不利，因此一般有限元素法程式會利用對稱性，將應力與應變壓縮為列向量，並將四階彈性張量壓縮為二維矩陣來處理。這稱為 Voigt 表示法。

以下將張量量 \(\boldsymbol{A}\) 的矩陣／向量表示記為 \(\hat{A}\)，以與原張量區分。

應力與應變的向量表示

對於對稱應力張量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 與應變張量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)，在2維情況下為

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

在3維情況下為

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

如上以列向量處理。相同規則也適用於變分、微分等衍生量。請注意，應變側的剪應變分量帶有係數 2（應力側沒有）。由於這種不對稱性，張量內積可寫成向量內積

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

即可簡潔寫成上述形式。在實作上容易弄錯剪應變分量的2倍因子，因此必須始終留意「應力無／應變有」的規約。對參考構形中的量（第2 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{S}\) 與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\)）也完全套用相同的 Voigt 規約。

四階張量的矩陣表示

對於應力與應變的線性關係 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)（分量表示為 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)），利用 \(\boldsymbol{\varepsilon}\) 的對稱性可得

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

可改寫為上述形式。在3維情況下，將 \(\tilde{C}\) 排列成 6×6 的材料矩陣 \(\hat{\tilde{C}}\) 後，原本的張量關係可表示為

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

可表示為上述形式。以下在本手冊中，除非另有說明，材料矩陣記為 \(D\)（或 \(\hat{C}\)）。等向性線性彈性的具體分量請參閱線性彈性。

微分算子規約

對稱梯度算子

對向量場 \(\boldsymbol{u}\) 定義對稱梯度算子 \(\nabla_S\) 為

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

。其分量表示為 \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)。微小變形下的應變 \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) 可利用此算子簡潔表示。有限變形中取梯度時所使用構形（參考／當前）的區分，請參閱運動、變形與應變。

物質時間導數

某個量 \(A\) 的物質時間導數（追蹤同一物質點的時間導數）以右上方圓點表示為 \(\dot{A}\)：

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

速度與加速度遵循此規約。

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