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Notazione tensoriale e fondamenti matematici

Questo capitolo raccoglie le convenzioni per la notazione tensoriale, la notazione a indici e la notazione di Voigt utilizzate nei capitoli successivi del Manuale teorico di FrontISTR. Qui vengono descritte soltanto regole di notazione pure, che non dipendono dalla definizione delle grandezze fisiche. Le convenzioni di notazione che dipendono dalla configurazione associata al moto continuo (configurazione di riferimento/configurazione attuale), come la distinzione tra lettere maiuscole e minuscole e tra derivate materiali e spaziali, sono descritte in Moto, deformazione e deformazione unitaria, dove viene introdotto il concetto di configurazione.

Notazione tensoriale

Notazione vettoriale e tensoriale in grassetto

Come convenzione tipografica, le grandezze scalari e le componenti di vettori e tensori sono indicate in carattere normale (ad esempio \(\rho\) e \(x_i\)), mentre le grandezze vettoriali e tensoriali stesse sono indicate in grassetto (ad esempio \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) e \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convenzione di sommazione di Einstein

Salvo diversa indicazione, si applica la convenzione di sommazione di Einstein: quando lo stesso indice compare due volte nello stesso termine, si esegue la somma rispetto a tale indice. Ad esempio,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

e la componente \(i,j\) del prodotto \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) dei tensori \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) è

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Come convenzione sugli indici, quando \(i, j, k, l, \ldots\) sono utilizzati come indici senza ulteriori specificazioni, essi indicano indici associati ai gradi di libertà (\(1, 2, 3\) in tre dimensioni), mentre le lettere greche minuscole \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilizzate come indici indicano gli indici associati ai nodi che costituiscono un elemento.

Prodotto interno, trasposizione e prodotto tensoriale

La trasposta del tensore \(\boldsymbol{A}\) è indicata con \(\boldsymbol{A}^T\). Il prodotto interno (doppia contrazione) dei tensori del secondo ordine \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) è scritto come

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Il prodotto interno dei vettori \(\boldsymbol{a}\) e \(\boldsymbol{b}\) è \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), mentre il loro prodotto tensoriale è \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notazione di Voigt

Tensione e deformazione sono tensori simmetrici del secondo ordine rispetto ai gradi di libertà, e i coefficienti che rappresentano la relazione lineare tra esse formano un tensore del quarto ordine. Gestire direttamente tali tensori in un programma è svantaggioso dal punto di vista del costo computazionale e della codifica (array multidimensionali e cicli profondamente annidati). Nei comuni programmi agli elementi finiti si sfrutta quindi la simmetria, comprimendo tensione e deformazione in vettori colonna e il tensore elastico del quarto ordine in una matrice bidimensionale. Questa rappresentazione è detta notazione di Voigt.

Nel seguito, la rappresentazione matriciale o vettoriale di una grandezza tensoriale \(\boldsymbol{A}\) è indicata con \(\hat{A}\), per distinguerla dal tensore originale.

Rappresentazione vettoriale di tensione e deformazione

Per il tensore simmetrico delle tensioni \(\boldsymbol{\sigma}\) e il tensore delle deformazioni \(\boldsymbol{\varepsilon}\), in due dimensioni,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

in tre dimensioni,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

vengono trattati come vettori colonna nel modo mostrato sopra. La stessa regola si applica alle grandezze derivate, quali variazioni e differenziali. Si noti che le componenti di taglio sul lato della deformazione hanno un fattore 2 (sul lato della tensione tale fattore non è presente). A causa di questa asimmetria, il prodotto interno tensoriale può essere scritto in forma compatta come prodotto interno vettoriale

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Nell’implementazione è facile gestire in modo errato il fattore 2 delle componenti di deformazione a taglio; occorre quindi tenere sempre presente la convenzione «assente per la tensione / presente per la deformazione». La stessa convenzione di Voigt si applica anche alle grandezze nella configurazione di riferimento (la tensione di secondo Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e la deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Rappresentazione matriciale di un tensore del quarto ordine

Per la relazione lineare tra tensione e deformazione \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (in componenti, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), utilizzando la simmetria di \(\boldsymbol{\varepsilon}\) si ottiene

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

In tre dimensioni, disponendo \(\tilde{C}\) come matrice del materiale 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), la relazione tensoriale originale può essere espressa come

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Nel seguito di questo manuale, salvo diversa indicazione, la matrice del materiale è indicata con \(D\) (oppure \(\hat{C}\)). Per le componenti specifiche dell’elasticità lineare isotropa, consultare Elasticità lineare.

Convenzioni sugli operatori differenziali

Operatore gradiente simmetrico

L’operatore gradiente simmetrico \(\nabla_S\) per un campo vettoriale \(\boldsymbol{u}\) è definito come

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

In forma componentale, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). La deformazione infinitesima \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) può essere espressa in modo compatto con questo operatore. La distinzione tra le configurazioni (di riferimento/attuale) rispetto alle quali si calcolano i gradienti nella deformazione finita è trattata in Moto, deformazione e deformazione unitaria.

Derivata temporale materiale

La derivata temporale materiale di una grandezza \(A\) (la derivata temporale seguendo lo stesso punto materiale) è indicata con un punto sovrascritto, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Velocità e accelerazione seguono questa convenzione.

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