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Elastoplasticità

Questo capitolo descrive il quadro della legge costitutiva elastoplastica adottata da FrontISTR. Per i dettagli sulla scelta e sulle specifiche di input, consultare 03_material nella sezione Funzioni.

Fenomeno (deformazione plastica)

TBD (da redigere nella fase successiva).

Quadro della legge costitutiva

FrontISTR adotta un’equazione costitutiva elastoplastica basata su una legge di flusso associata. L’equazione costitutiva esprime inoltre la relazione tra il tasso di Jaumann della tensione di Kirchhoff e il tensore della velocità di deformazione, e l’analisi della deformazione utilizza la formulazione lagrangiana aggiornata.

Si assuma che la condizione di snervamento di un materiale elastoplastico sia data come segue.

Condizione di snervamento iniziale:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condizione di snervamento successiva:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

dove

  • \(F\): funzione di snervamento
  • \(\sigma_{y_0}\): tensione di snervamento iniziale
  • \(\sigma_y\): tensione di snervamento successiva
  • \(\sigma\): tensore delle tensioni
  • \(e\): tensore delle deformazioni infinitesime
  • \(e^p\): tensore delle deformazioni plastiche
  • \(\overline{e}^p\): deformazione plastica equivalente

Si assume che la relazione tensione di snervamento–deformazione plastica equivalente coincida con la relazione tensione–deformazione plastica in stato monoassiale.

Relazione tensione–deformazione plastica in stato monoassiale

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

dove \(H'\) è il modulo di incrudimento.

Relazione tensione equivalente–deformazione plastica equivalente

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

In generale, la funzione di snervamento successiva dipende dalla temperatura e dal lavoro di deformazione plastica, ma per semplicità qui si assume che dipenda soltanto dalla deformazione plastica equivalente \(\overline{e}^p\). Durante l’evoluzione della deformazione plastica deve continuare a valere \(F = 0\); pertanto deve essere soddisfatta la seguente equazione.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Qui \(\dot{F}\) indica la derivata temporale di \(F\). Nel seguito, la derivata temporale di una grandezza \(A\) è indicata con \(\dot{A}\).

Si assume l’esistenza di un potenziale plastico \(\Theta\) e si esprime la velocità di deformazione plastica mediante la seguente equazione.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Qui \(\dot{\lambda}\) è un coefficiente.

Inoltre, assumendo che il potenziale plastico \(\Theta\) sia uguale alla funzione di snervamento \(F\), si adotta la seguente legge di flusso associata.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Sostituendo questa equazione nella condizione di consistenza si ottiene la seguente equazione.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Qui \(D\) è la matrice elastica, e

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

La relazione tensione–deformazione elastoplastica può essere scritta come segue.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Una volta nota la funzione di snervamento \(F\) del materiale elastoplastico, da questa espressione si ricava la relativa equazione costitutiva.

Funzioni di snervamento

Di seguito sono elencate le funzioni di snervamento elastoplastiche adottate da FrontISTR.

Funzione di snervamento di Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Qui \(J_2\) è il secondo invariante del tensore deviatorico delle tensioni.

Funzione di snervamento di Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Qui \(\sigma_1, \sigma_3\) sono rispettivamente la tensione principale massima e minima, \(c\) è la coesione e \(\phi\) è l’angolo di attrito interno.

Funzione di snervamento di Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Qui le costanti del materiale \(\alpha\) e \(\sigma_y\) sono calcolate dalla coesione e dall’angolo di attrito del materiale come segue.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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