Analisi statica elastica lineare (introduzione)

Questa sezione presenta la formulazione dell'analisi statica elastica basata sulla teoria delle deformazioni infinitesime. Per la relazione tensione-deformazione si assume elasticità lineare. Questo capitolo è concepito come introduzione per comprendere la struttura generale dell'analisi strutturale agli elementi finiti ed è organizzato come capitolo autonomo.

Per la teoria generale del principio dei lavori virtuali (forma nella configurazione attuale, forma nella configurazione iniziale e riduzione alle deformazioni infinitesime), vedere Principio dei lavori virtuali. Per i dettagli della legge costitutiva elastica lineare, vedere Elasticità lineare; per le convenzioni della notazione tensoriale e di Voigt, vedere Notazione tensoriale e fondamenti matematici; per la formulazione generale delle grandi deformazioni, vedere Fondamenti di meccanica del continuo; per i metodi di soluzione dei problemi non lineari, vedere Matrice di rigidezza tangente.

Equazioni fondamentali

Sotto le ipotesi di deformazioni infinitesime ed elasticità lineare, il problema ai valori al contorno della meccanica dei solidi è costituito dall'equazione di equilibrio, dalle condizioni al contorno meccaniche e dalle condizioni al contorno geometriche (condizioni essenziali) (vedere Figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

dove \(\boldsymbol{\sigma}\) è la tensione di Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) è la forza di volume per unità di volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) è la trazione superficiale prescritta, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) è lo spostamento prescritto e \(S_t, S_u\) sono rispettivamente i contorni meccanico e geometrico.

Figura 2.1.1 Problema ai valori al contorno nella meccanica dei solidi (problema di deformazioni infinitesime)

Utilizzando l'operatore gradiente simmetrico, la relazione deformazione-spostamento è

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

L'equazione costitutiva elastica lineare è

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

dove \(\boldsymbol{C}\) è il tensore elastico del quarto ordine.

Principio dei lavori virtuali

Le forme generali del principio dei lavori virtuali (forma nella configurazione attuale, forma nella configurazione iniziale e riduzione alle deformazioni infinitesime) sono raccolte in Principio dei lavori virtuali. Sotto le ipotesi di deformazioni infinitesime ed elasticità lineare, la forma debole è

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Sostituendo l'equazione costitutiva \eqref{eq:2.1.5} e scrivendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) nella notazione di Voigt, si ottiene la forma utilizzata direttamente per la discretizzazione:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

dove \(D\) è la matrice elastica definita in Elasticità lineare. Le equazioni \eqref{eq:2.1.10} e \eqref{eq:2.1.7} costituiscono il principio dei lavori virtuali discretizzato di seguito.

Discretizzazione e assemblaggio dell'equazione globale

Discretizzando il principio dei lavori virtuali nell'Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) sugli elementi finiti si ottiene

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Per ciascun elemento, il campo di spostamento viene interpolato utilizzando gli spostamenti dei nodi che compongono l'elemento, come segue.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

La deformazione è quindi data, utilizzando l'Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\), come segue.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Sostituendo le Eq.\(\eqref{eq:2.1.12}\) e \(\eqref{eq:2.1.13}\) nell'Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\) si ottiene

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

L'Eq.\(\eqref{eq:2.1.14}\) può essere scritta come

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

dove, i componenti della matrice e del vettore definiti dalle Eq.\(\eqref{eq:2.1.16}\) e \(\eqref{eq:2.1.17}\) possono essere calcolati per ciascun elemento finito e assemblati per sovrapposizione.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Poiché l'Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) vale per uno spostamento virtuale arbitrario \(\delta \boldsymbol{U}\), si ottiene la seguente equazione.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

D'altra parte, la condizione al contorno di spostamento nell'Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) è espressa come segue.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Risolvendo l'Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) soggetta alla condizione di vincolo dell'Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\), è possibile determinare lo spostamento nodale \(\boldsymbol{U}\).

Vedere anche