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線形弾性静解析（入門）
ここでは微小変形理論に基づく弾性静解析についての定式化を示す。応力・ひずみ関係として線形弾性を仮定している。
本章は有限要素法による構造解析の全体像を把握するための入門的な位置づけであり、1章で完結して読める構成としている。
仮想仕事の原理の一般論（現配置・初期配置・微小変形帰着）は仮想仕事の原理、線形弾性構成則の詳細は線形弾性、テンソル記法・Voigt 表記の規約はテンソル記法と数学的基礎、有限変形の一般的な定式化は連続体力学の基礎、非線形問題の解法は接線剛性行列を参照されたい。
基礎方程式
微小変形・線形弾性仮定下での固体力学の境界値問題は，平衡方程式・力学的境界条件・幾何学的境界条件（基本境界条件）からなる（図 2.1.1 参照）：
\[\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V
\label{eq:2.1.1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t
\label{eq:2.1.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u
\label{eq:2.1.3}
\end{equation}\]
ここで \(\boldsymbol{\sigma}\) は Cauchy 応力，\(\overline{\boldsymbol{b}}\) は単位体積あたりの物体力，\(\overline{\boldsymbol{t}}\) は表面力（規定値），\(\overline{\boldsymbol{u}}\) は規定変位，\(S_t, S_u\) は力学的境界・幾何学的境界である。
図 2.1.1 固体力学における境界値問題(微小変形問題)
ひずみ・変位関係式は対称勾配作用素を用いて
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}
\label{eq:2.1.4}
\end{equation}\]
線形弾性構成式は
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}
\label{eq:2.1.5}
\end{equation}\]
で与えられる（\(\boldsymbol{C}\) は 4 階の弾性テンソル）。
仮想仕事の原理
仮想仕事の原理の一般形（現配置表現・初期配置表現・微小変形への帰着）は仮想仕事の原理に集約されている。微小変形・線形弾性仮定のもとでの弱形式は
\[\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS
+ \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV
\label{eq:2.1.6}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u
\label{eq:2.1.7}
\end{equation}\]
であり，構成式 \eqref{eq:2.1.5} を代入しVoigt 表記で \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) と書くと，離散化に直接用いる形
\[\begin{equation}
\int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.10}
\end{equation}\]
を得る（\(D\) は線形弾性の弾性マトリクス）。式 \eqref{eq:2.1.10} および式 \eqref{eq:2.1.7} が，以下で離散化する仮想仕事の原理である。
離散化と全体方程式の組立て
仮想仕事の原理式\( \eqref{eq:2.1.10} \)を有限要素ごとに離散化して次式を得る。
\[\begin{equation}
\sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.11}
\end{equation}\]
要素ごとに、要素を構成する節点の変位を用いて変位場を次式のように内挿する。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.12}
\end{equation}\]
このときひずみは、式\(\eqref{eq:2.1.4}\)を用いて次式のように与えられる。
\[\begin{equation}
\hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.13}
\end{equation}\]
式\(\eqref{eq:2.1.12}\)、式\(\eqref{eq:2.1.13}\)を式\(\eqref{eq:2.1.11}\)に代入して、次式を得る。
\[\begin{equation}
\sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U}
= \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.14}
\end{equation}\]
式\(\eqref{eq:2.1.14}\)は次式のようにまとめることができる。
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.15}
\end{equation}\]
ここで、
式\(\eqref{eq:2.1.16}\)、式\(\eqref{eq:2.1.17}\)で定義されるマトリクスおよびベクトルの成分は、有限要素ごとに計算し、重ねあわせることができる。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV
\label{eq:2.1.16}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right)
\label{eq:2.1.17}
\end{equation}\]
式\(\eqref{eq:2.1.15}\)が、任意の仮想変位 \(\delta \boldsymbol{U}\) について成立することにより次式を得る。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.18}
\end{equation}\]
一方、変位境界条件式\(\eqref{eq:2.1.3}\)は次式のように表される。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}}
\label{eq:2.1.19}
\end{equation}\]
式\(\eqref{eq:2.1.18}\)を拘束条件式\(\eqref{eq:2.1.19}\)のもとで解くことにより、節点変位 \(\boldsymbol{U}\) を決定することができる。
関連項目