Tensioni e leggi di conservazione¶
Questo capitolo raccoglie le definizioni e le relazioni reciproche dei tensori delle tensioni, nonché le equazioni di equilibrio e la simmetria delle tensioni derivate dalle leggi di conservazione della massa, della quantità di moto e del momento angolare. I tre tensori delle tensioni — tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), prima tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) e seconda tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — vengono introdotti in funzione della configurazione scelta per la superficie di riferimento e per il vettore forza. Per le definizioni di configurazione, moto e gradiente di deformazione, consultare Moto, deformazione e deformazione unitaria; per l’elenco dei simboli, consultare Elenco dei simboli delle grandezze fisiche.
Tensore delle tensioni di Cauchy¶
Si consideri, nel punto \(\boldsymbol{x}\) della configurazione attuale, una superficie infinitesima di area \(d\Gamma\) e normale unitaria uscente \(\boldsymbol{n}\), sulla quale agisce la forza \(d\boldsymbol{f}\). Il vettore di trazione \(\boldsymbol{t}\) è definito come forza per unità di area mediante \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) dipende sia dalla posizione \(\boldsymbol{x}\) sia dalla normale \(\boldsymbol{n}\). Applicando la conservazione della quantità di moto a un tetraedro infinitesimo, \(\boldsymbol{t}\) risulta lineare rispetto a \(\boldsymbol{n}\), per cui esiste un tensore del secondo ordine \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tale che
vale per ogni \(\boldsymbol{n}\) (teorema delle tensioni di Cauchy). Questo tensore \(\boldsymbol{\sigma}\) è detto tensore delle tensioni di Cauchy ed è anche chiamato tensione vera, poiché rappresenta la forza per unità di area misurata rispetto alla geometria della configurazione attuale. La componente \(\sigma_{ij}\) rappresenta la componente \(x_i\) della forza per unità di area che agisce su una superficie infinitesima perpendicolare all’asse coordinato \(x_j\) nella configurazione attuale.
Come mostrato più avanti dalla conservazione del momento angolare, la tensione di Cauchy è un tensore simmetrico
e in tre dimensioni possiede quindi sei componenti indipendenti (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). La vettorializzazione delle tensioni in notazione di Voigt presuppone questa simmetria (consultare Notazione tensoriale e fondamenti matematici). La tensione di Cauchy viene utilizzata per l’output delle tensioni nell’analisi geometricamente non lineare di FrontISTR con il metodo Updated Lagrange e nell’analisi a piccole deformazioni.
Prima e seconda tensione di Piola-Kirchhoff¶
Nelle deformazioni finite è spesso conveniente esprimere la tensione facendo riferimento a superfici e vettori nella configurazione di riferimento; si introducono quindi due tensori delle tensioni di Piola-Kirchhoff. Sia \(d\Gamma_0\) l’area di una superficie infinitesima nella configurazione di riferimento e sia \(\boldsymbol{N}\) la sua normale unitaria uscente.
La prima tensione di Piola-Kirchhoff (prima tensione PK, tensione nominale) \(\boldsymbol{P}\) è definita come il tensore delle tensioni ottenuto applicando la forza \(d\boldsymbol{f}\) della configurazione attuale a una superficie infinitesima nella configurazione di riferimento:
Dalla formula di Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) e dal teorema delle tensioni di Cauchy si ottiene la relazione con la tensione di Cauchy
La prima tensione PK è in generale un tensore non simmetrico.
La seconda tensione di Piola-Kirchhoff (seconda tensione PK) \(\boldsymbol{S}\) è definita come il tensore delle tensioni ottenuto riportando nella configurazione di riferimento la forza \(d\boldsymbol{f}\) della configurazione attuale mediante \(\boldsymbol{F}^{-1}\) e applicandola a una superficie infinitesima nella configurazione di riferimento:
Sia il vettore forza sia la superficie su cui esso agisce sono espressi mediante grandezze della configurazione di riferimento; il tensore è quindi invariante rispetto alle rotazioni rigide e simmetrico. La relazione con la prima tensione PK e le formule di trasformazione rispetto alla tensione di Cauchy sono
La seconda tensione PK si ricava dalla funzione di energia di deformazione iperelastica \(W(\boldsymbol{C})\) come \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) e, nel metodo Total Lagrange, viene utilizzata insieme alla deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) come coppia coniugata nel lavoro \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Le configurazioni di riferimento e le proprietà di simmetria sono riassunte nella tabella seguente. Nel limite delle piccole deformazioni (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), le tre tensioni coincidono.
| Tensore delle tensioni | Superficie di riferimento | Vettore forza | Simmetria | Applicazione |
|---|---|---|---|---|
| Tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) | Configurazione attuale \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Configurazione attuale \(d\boldsymbol{f}\) | Simmetrico | Metodo Updated Lagrange / analisi a piccole deformazioni |
| Prima tensione PK \(\boldsymbol{P}\) | Configurazione di riferimento \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configurazione attuale \(d\boldsymbol{f}\) | Generalmente non simmetrico | Equazioni di equilibrio nella configurazione di riferimento |
| Seconda tensione PK \(\boldsymbol{S}\) | Configurazione di riferimento \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configurazione di riferimento \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Simmetrico | Metodo Total Lagrange / iperelasticità |
Conservazione della massa e della quantità di moto ed equazioni di equilibrio¶
Siano \(\rho\) la densità di massa nella configurazione attuale e \(\rho_0\) la densità di massa nella configurazione di riferimento. La legge di conservazione della massa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), insieme alla trasformazione dell’elemento di volume \(dv = J\, dV\), si riduce alla forma locale
che costituisce la relazione locale di conservazione della massa.
Sia \(\boldsymbol{g}\) la forza di volume per unità di massa e \(\boldsymbol{a}\) l’accelerazione. Applicando il teorema delle tensioni di Cauchy e il teorema della divergenza di Gauss alla conservazione della quantità di moto (prima legge del moto di Eulero), si ottiene la forma locale dell’equazione di equilibrio (equazione del moto) nella configurazione attuale:
Riscrivendo l’integrale nella configurazione di riferimento mediante la formula di Nanson e \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), si ottiene la forma locale nella configurazione di riferimento:
Le due forme sono equivalenti tramite la regola di trasformazione delle tensioni e \(\rho_0 = J\rho\). Trascurando il termine inerziale si ottiene
che costituisce l’equazione di equilibrio statico ed è il punto di partenza dell’analisi statica di FrontISTR (lineare e non lineare).
Conservazione del momento angolare e simmetria delle tensioni¶
Combinando la conservazione del momento angolare (seconda legge del moto di Eulero) con l’equazione di equilibrio derivata dalla conservazione della quantità di moto, si ottiene la simmetria del tensore delle tensioni di Cauchy:
In tre dimensioni esso possiede quindi sei componenti indipendenti. Trasponendo entrambi i membri della trasformazione \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) e utilizzando la non singolarità di \(\boldsymbol{F}\), si mostra che anche la seconda tensione PK è simmetrica:
e quindi possiede anch’essa sei componenti indipendenti. Al contrario, la prima tensione PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) non è in generale simmetrica; vale soltanto la relazione \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (ossia \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) è simmetrico) e le componenti indipendenti sono nove.
Queste simmetrie costituiscono il presupposto per rappresentare la tensione come vettore a sei componenti nella notazione di Voigt. Per le convenzioni della notazione di Voigt e la costruzione delle matrici del materiale, consultare Notazione tensoriale e fondamenti matematici e Elasticità lineare.