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Funzioni di forma per elementi solidi 3D

Questo capitolo raccoglie i sistemi di coordinate naturali e le forme esplicite delle funzioni di forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), introdotte in Funzioni di forma e approssimazione agli elementi finiti, per gli elementi solidi tridimensionali utilizzati da FrontISTR nell’analisi del continuo. I sei tipi di elemento sono tetraedri di primo/secondo ordine (341/342), prismi triangolari di primo/secondo ordine (351/352) ed esaedri di primo/secondo ordine (361/362). Per l’ordinamento dei nodi e i numeri delle facce nel formato mesh HEC-MW, consultare la Libreria degli elementi nel riferimento delle funzioni.

La procedura con cui l’integrazione di elemento viene costruita a partire da queste funzioni di forma e dal determinante jacobiano segue Integrazione numerica. Le formulazioni B-bar, F-bar e incompatibile per 361, nonché le funzioni di forma per elementi trave e shell, sono trattate in Formulazioni avanzate degli elementi.

Sistemi di coordinate naturali e ordinamento interno dei nodi

Le funzioni di forma sono definite nelle coordinate naturali \(\boldsymbol{r}\) di ciascun elemento. Gli elementi solidi tridimensionali utilizzano i seguenti tre sistemi di coordinate naturali in funzione della forma dell’elemento.

  • Esaedri (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedri (341/342): coordinate volumetriche \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), con \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) e \(L_i \ge 0\). Assumendo \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) come variabili indipendenti, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismi triangolari (351/352): si combinano le coordinate volumetriche \((\xi, \eta)\) del triangolo di base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) con la coordinata assiale \(\zeta \in [-1, 1]\) per formare \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). La grandezza ausiliaria \(a = 1 - \xi - \eta\) è utilizzata come terza coordinata volumetrica sulla base.

Per gli elementi di primo ordine, la numerazione dei nodi dell’elemento coincide nel formato di input HEC-MW e nel formato interno. Per gli elementi di secondo ordine, le convenzioni di ordinamento dei nodi intermedi dei lati differiscono tra i due formati. FrontISTR accetta in input il formato HEC-MW (prima i nodi d’angolo lungo il contorno dell’elemento, quindi i nodi intermedi nell’ordine dei lati 1-2, 2-3, …), mentre le funzioni di forma della libreria degli elementi sono implementate assumendo un ordinamento dei nodi differente.

La differenza tra i due formati viene risolta da hecmw2fstr_mesh_conv, richiamato immediatamente dopo la lettura della mesh, che riordina i nodi per ciascun elemento. Tra gli elementi solidi tridimensionali, vengono convertiti i seguenti due tipi.

Tipo di elemento Tabella di conversione Contenuto
342 (tetraedro di secondo ordine) Table342 Riordina i 10 nodi in \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma triangolare di secondo ordine) Table352 Riordina i 15 nodi in \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Poiché il riordinamento viene eseguito direttamente sull’array che memorizza la connettività degli elementi, tutte le successive chiamate alla libreria degli elementi utilizzano l’ordinamento interno dei nodi di FrontISTR. Per l’elemento esaedrico di secondo ordine 362 non esiste una tabella di conversione, perché l’ordinamento dei nodi intermedi nel formato di input HEC-MW coincide con quello del formato interno di FrontISTR. In fase di output dei risultati, la conversione inversa fstr2hecmw_mesh_conv ripristina l’ordinamento dei nodi HEC-MW prima della scrittura; l’utente deve quindi considerare soltanto il formato HEC-MW sia in input sia in output. I numeri dei nodi nelle funzioni di forma riportate di seguito fanno riferimento al formato interno di FrontISTR dopo la conversione.

Funzioni di forma degli elementi di primo ordine

Per l’elemento tetraedrico di primo ordine (341), le funzioni di forma coincidono con le coordinate volumetriche:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Per l’elemento a prisma triangolare di primo ordine (351), le funzioni di forma sono il prodotto delle funzioni di forma lineari del triangolo di base (\(a, \xi, \eta\)) e delle funzioni di forma lineari assiali (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Per l’elemento esaedrico di primo ordine (361), le funzioni di forma sono prodotti tensoriali delle funzioni di forma lineari nelle tre direzioni coordinate:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Qui \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) sono i valori delle coordinate naturali del nodo \(\alpha\) (ciascuna componente è \(\pm 1\)).

Funzioni di forma degli elementi di secondo ordine

Per l’elemento tetraedrico di secondo ordine (342), le funzioni di forma sono suddivise tra quattro nodi d’angolo e sei nodi intermedi dei lati:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

I nodi intermedi 5–10 corrispondono rispettivamente ai punti medi dei lati 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 e 3-4.

L’elemento a prisma triangolare di secondo ordine (352) è costituito da sei nodi d’angolo, sei nodi intermedi sui lati delle facce triangolari e tre nodi intermedi sugli spigoli assiali:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

I nodi intermedi 7–9 corrispondono ai punti medi dei lati del triangolo inferiore (\(\zeta = -1\)), i nodi 10–12 ai punti medi dei lati del triangolo superiore (\(\zeta = +1\)) e i nodi 13–15 ai punti medi degli spigoli assiali.

L’elemento esaedrico di secondo ordine (362) è un elemento a 20 nodi della famiglia Serendipity. Siano \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) i valori delle coordinate naturali del nodo \(\alpha\). Per i nodi d’angolo (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), con ciascuna componente pari a \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Per i nodi intermedi dei lati (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), con una delle tre coordinate naturali pari a \(0\) e le altre due pari a \(\pm 1\)), i nodi con \(\xi_\alpha = 0\) (lati orientati nella direzione \(\xi\)) hanno

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

I nodi intermedi i cui lati sono orientati lungo l’asse \(\eta\) o \(\zeta\) sono definiti in modo analogo, eliminando la coordinata naturale corrispondente mediante il termine al quadrato.

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