非線性迭代與時間積分¶

FrontISTR 在各步驟的增量控制中，於每個子步驟結合非線性迭代與時間積分來推進解。本頁說明位於外層步驟控制與內層線性求解器之間的迭代結構，也就是 Newton-Raphson 迭代、接觸迭代、動態分析的時間積分，以及暫態熱傳導的時間推進與非線性迭代架構。

功能概觀¶

步驟內進行的非線性求解與時間積分具有由外而內多層迴圈巢狀排列的結構。各層的作用如下。

層級	作用	主要參考頁面
步驟迴圈	將整體分析分為多個步驟，並切換邊界條件、載荷、接觸與元素活化。	步驟控制
子步驟迴圈	將一個步驟分為時間增量，並以固定增量或自動增量與 cutback 推進。	步驟控制
時間積分的狀態推進	在動態分析與暫態熱傳導中，由前一步的狀態求得下一時刻的狀態。	本頁
接觸狀態搜尋迴圈	在接觸分析中，搜尋接觸狀態（接觸／分離）的變化並更新剛性矩陣的結構。	本頁
增廣 Lagrange 外層迭代	在 `ALAGRANGE` 接觸中，逐步提高接觸約束精度。	本頁
Newton 迭代	使用 Newton-Raphson 法反覆求解非線性平衡方程式。	本頁
線性聯立方程式求解	在每次 Newton 迭代中，求解以切線剛性矩陣為基礎的線性系統。	求解器與預處理

依分析類型不同，會出現上述哪些層級也有所不同。

分析類型	時間積分	接觸狀態搜尋	外層迭代	Newton 迭代
線性靜態分析	—	—	—	—
非線性靜態分析（無接觸）	—	—	—	有
非線性靜態分析（`SLAGRANGE` 接觸）	—	有	—	有
非線性靜態分析（`ALAGRANGE` 接觸）	—	有	有	有
動態分析隱式法	Newmark-β	—	—	有（非線性時）
動態分析顯式法	中央差分	—	—	—
頻率響應分析	模態疊加	—	—	—
暫態熱傳導	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	有（材料物性具溫度相依性時）
穩態熱傳導	—	—	—	有（材料物性具溫度相依性時）

接觸類型與演算法本身的選擇方式請參閱接觸與嵌入。本頁說明所選演算法如何組成迭代迴圈。

解法的選擇¶

迭代結構會依所選分析類型（分析類型）、是否存在非線性（幾何非線性、材料非線性、接觸），以及接觸演算法（SLAGRANGE 或 ALAGRANGE）自動決定。使用者直接調整的是迭代次數上限與收斂判定值。

調整時可依循以下指引。

對一般分析而言，迭代次數上限使用預設值通常即可正常運作。若難以收斂的問題因「達到最大迭代次數而未收斂」，應先搭配 cutback（步驟控制）；若仍無改善，再提高上限。
收斂判定值應在分析穩定性與計算時間之間取得平衡。條件越嚴格，平衡精度越高，但迭代次數也會增加。在接觸分析或包含 Lagrange 乘數的分析中，除殘差判定外再併用位移增量判定或 Lagrange 判定，可改善穩定性。
動態分析的時間積分參數（Newmark-β 係數）應從標準值組合開始，只有在需要改變振動響應的數值阻尼特性時才進行調整。
暫態熱傳導的時間積分格式，若溫度變化平滑則選擇 Crank-Nicolson；若重視劇烈變化時或長時間計算的穩定性，則選擇 Backward Euler。

靜態分析的 Newton-Raphson 迭代¶

在非線性靜態分析中，包含幾何非線性或材料非線性的平衡方程式，以 Newton-Raphson 法反覆求解。每次迭代依下列步驟進行。

以目前解計算殘差向量 \(\boldsymbol{R}\)。
組裝切線剛性矩陣 \(\boldsymbol{K}_T\)。
求解線性系統 \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\)，得到位移修正量 \(\Delta \boldsymbol{u}\)。
以 \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) 更新解。
與收斂判定值比較；若已收斂則結束迭代，否則返回步驟 1。

線性系統的求解（步驟 3）由線性求解器負責。求解器與預處理的選擇請參閱求解器與預處理。

迭代控制使用 !STEP 的步驟控制參數。主要控制值如下。

作用	參數
迭代次數上限。若達到上限仍未收斂，該子步驟將成為 cutback 的對象。	`MAXITER`
依殘差範數相對值進行的收斂判定值。	`CONVERG`
依位移修正量範數比進行的收斂判定值。與殘差判定併用可改善穩定性。	`CONVERG_DDISP`
殘差範數的發散判定值。超過此值時即終止迭代。	`MAXRES`

步驟控制中，自動增量與 cutback 判定所使用的 Newton 最大迭代次數，是指本頁所述的 Newton 迭代次數。自動增量控制會在以較少迭代次數完成收斂的子步驟之後增加時間增量，而在需要較多迭代的子步驟之後減少時間增量。

靜態分析的接觸迭代¶

在接觸分析中，由於接觸面上的接觸、分離與滑動會使接觸狀態在迭代期間改變，因此 Newton 迭代會與接觸狀態更新結合。其結構依接觸求解演算法而異。

兩種演算法的最外層皆設有接觸狀態搜尋迴圈。每次進入此迴圈時，先讓內層 Newton 迭代收斂，再重新評估接觸狀態（接觸／分離）；若狀態有變化，則更新剛性矩陣的結構並再次執行內層迭代。當接觸狀態與前一次相同，且滿足接觸的收斂判定（接觸力與 Lagrange 乘數判定）時，迴圈即結束。迴圈次數上限由 !STEP 的 MAXCONTITER 指定。

在 SLAGRANGE 接觸中，使用標準 Lagrange 乘數法將接觸自由度納入線性系統，形成接觸狀態搜尋迴圈內直接配置 Newton 迭代的兩層結構，不包含增廣 Lagrange 迭代。

在 ALAGRANGE 接觸中，接觸狀態搜尋迴圈內再加入增廣 Lagrange 迭代，並在其內執行 Newton 迭代，形成三層結構。每次增廣 Lagrange 迭代都以懲罰項與 Lagrange 乘數的組合重新評估接觸約束，逐步改善約束精度。增廣 Lagrange 迭代次數上限由 !CONTACT_ALGO 的 AUGITER 指定。

接觸迭代的控制值如下。

作用	指定位置
接觸狀態搜尋迴圈的次數上限。`SLAGRANGE` / `ALAGRANGE` 皆使用。	`!STEP` 的 `MAXCONTITER`
增廣 Lagrange 迭代次數上限。僅 `ALAGRANGE` 使用。	`!CONTACT_ALGO` 的 `AUGITER`
Lagrange 乘數修正量的收斂判定值。在含接觸的分析中與殘差判定併用。	`!STEP` 的 `CONVERG_LAG`

步驟控制的自動增量判定所參照的接觸迭代次數，是指本頁所述包含接觸狀態更新的迭代次數。接觸與分離頻繁發生的分析，接觸迭代次數通常會增加，也會影響自動增量與 cutback 的判定。接觸類型、配對定義與演算法選擇本身請參閱接觸與嵌入。包含接觸自由度之線性系統的求解方式請參閱求解器與預處理。

動態分析的時間積分（隱式法）¶

動態分析的隱式法使用 Newmark-β 法，在每個時間步將下一時刻的位移、速度與加速度互相關聯，並與運動方程式結合，以求得時刻 \(t + \Delta t\) 的狀態。對時間步長 \(\Delta t\) 的穩定性限制較寬鬆，因此能有效求解由低頻成分主導的結構響應。

時間積分使用下列兩個參數。

參數	作用
\(\beta\)	與位移時間插值有關的係數。
\(\gamma\)	與速度時間插值有關的係數。

\(\beta = 1/4\)、\(\gamma = 1/2\) 的組合稱為平均加速度法，是無條件穩定且沒有數值阻尼的標準選擇。若要導入數值阻尼，應取 \(\gamma\) 大於 \(1/2\)。參數值組合以及穩定性、誤差特性的數學細節請參閱理論手冊。

若包含非線性（幾何非線性、材料非線性或接觸），則在每個時間步內執行 Newton 迭代，於迭代中求解線性系統並更新狀態。收斂判定使用與靜態分析共用的 CONVERG 等值。伴隨接觸的動態分析，會將與靜態分析的接觸迭代相同的迭代結構納入各時間步內。

動態分析的時間步長主要由 !STEP 的時間條件控制。固定增量時，!STEP 以 DTIME 指定時間步長，並以 ETIME 指定步驟時間寬度。!DYNAMIC 的 n_step 與 t_delta 在省略 !STEP 或為維持向後相容性時，作為預設值處理。非線性隱式法可透過 !STEP 的 INC_TYPE=AUTO 啟用自動增量與 cutback，依 Newton 迭代及接觸迭代的情況增加或減少時間步長。無論使用固定增量或自動增量，都應兼顧收斂性與所需精度來設定時間步長。

動態分析的時間積分（顯式法）¶

動態分析的顯式法使用中央差分法，只根據前一時刻的位移、速度與加速度資訊直接算出下一時刻的狀態。由於不求解聯立方程式，每一步的計算成本較低。即使包含非線性，每個時間步也只進行不含 Newton 迭代的單階段更新。

時間步長受以系統最小固有週期為基礎的穩定性條件（CFL 條件）限制。若時間步長超過此上限，數值解會發散，因此無法像隱式法一樣採用較大的時間步長。對衝擊、波傳播、高速接觸等本來就需要很小時間步長的現象，顯式法較具優勢。

伴隨接觸時，使用 Forward Increment Lagrange 法處理接觸約束，並以與顯式法單階段更新一致的方式計算接觸力。

頻率響應分析的解法¶

頻率響應分析使用模態疊加法，在頻域中直接求得週期性穩態響應。此方法在改變激振頻率的同時評估響應，不需要透過迭代追蹤時間歷程，也不進行非線性迭代或時間積分。

執行頻率響應分析之前，必須先對同一系統進行模態分析並擷取所需數量的固有模態。僅支援線性模型；若啟用幾何非線性或材料非線性則無法執行。此分析類型的定位請參閱分析類型。

暫態熱傳導的時間推進與非線性迭代¶

暫態熱傳導具有在 !HEAT 內完成的獨立時間迴圈。其時間步長透過與結構分析的 !STEP、!AUTOINC_PARAM 不同的路徑控制；若材料物性具有溫度相依性，則在每個時間步內進行非線性迭代。

時間積分格式由 !HEAT 的 \(\beta\) 參數選擇。

\(\beta\)	格式	特性
0.5	Crank-Nicolson 法	二階精度。適用於溫度變化平滑的問題。
1.0	Backward Euler 法	一階精度。無條件穩定，對長時間分析或劇烈溫度變化較容易確保穩定性。

時間步長由初始時間步長、最小時間步長，以及每一步的最大溫度變化共同進行自適應控制。若某時間步計算後的溫度變化超過 DELTMX，則縮小時間步長並重新計算。若時間步長低於最小時間步長 DTMIN，則中止分析。

若材料物性具有溫度相依性，則在每個時間步內進行非線性迭代。迭代控制如下。

作用	參數
非線性迭代次數上限。	`!HEAT` 的 `ITMAX`
收斂判定值。	`!HEAT` 的 `EPS`

穩態熱傳導不使用時間步進；若材料物性具有溫度相依性，僅進行非線性迭代。由於熱傳導分析的時間控制與結構分析的 !STEP 相互獨立，調整時間步長時應確認 !HEAT 的設定。