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增量分析架構

增量分析的必要性

如前所述，在小變形問題的分析中，可使用與平衡方程式等基礎方程式等價的虛功原理，並以有限元素將此式離散化，從而進行有限元素分析。對處理結構大變形的有限變形問題，其基本上同樣使用虛功原理。

然而，在有限變形問題中，即使假設材料為線性，虛功原理式對位移而言仍會成為非線性方程式。 求解非線性方程式通常使用迭代法進行反覆計算。

在此迭代計算中，採用增量分析方法：針對較小的載荷增量分段計算，並逐步累積直到達到最終變形狀態。 若假設為小變形問題，在定義應變與應力時，不需特別區分變形前與變形後的配置。 也就是說，在小變形假設下，用來描述基礎方程式的配置無論取變形前或變形後都不成問題。

對有限變形問題進行增量分析時，依參考配置採用初始配置或增量開始時的配置，定式化會有所不同。 前者稱為 total Lagrange 法，後者稱為 updated Lagrange 法。詳細內容請參閱章末參考文獻等資料。

起始方程式：時刻 \(t'\) 的虛功原理

假設進行增量分析：時刻 \(t\) 以前的狀態已知，而時刻 \(t' = t + \Delta t\) 的狀態未知（參閱圖 2.2.1）。時刻 \(t'\) 的平衡方程式、邊界條件與虛功原理（以目前配置表示，使用 Cauchy 應力 \(^{t'}\sigma\) 與 Almansi 應變線性部分 \(^{t'} A_{(L)}\)）如虛功原理所示。

增量分析的概念

圖 2.2.1　增量分析的概念

然而，由於此起始方程式是以時刻 \(t'\) 的（未知）配置描述，因此實際求解時會重新選擇時刻 \(0\) 的初始配置 \(V\) 或時刻 \(t\) 的目前配置 \(^{t'} v\) 作為參考配置，改寫為增量形式後再求解：

  • Total Lagrange 法 — 以初始配置 \(V\) 為參考。使用第二 PK 應力 \(\boldsymbol{S}\) 與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\)。
  • Updated Lagrange 法 — 以增量開始時的目前配置 \(^{t}v\) 為參考。使用 Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\) 與 Almansi 應變線性部分 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)。

兩者的空間離散化（B 矩陣、內力向量）請參閱內力虛功的離散化，線性化與切線剛性的構成請參閱切線剛性矩陣。

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