頻率響應分析
問題設定
頻率響應分析用於外力隨時間作諧波變化時，在頻域中評估系統穩態響應的振幅與相位。由於考慮阻尼與不考慮阻尼時的運動方程式採用不同架構，本章先由無阻尼自由振動導出固有模態，再以其作為模態基底展開含阻尼的諧波響應。
無阻尼自由振動與固有模態
不考慮阻尼時，運動方程式為
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + K U = 0
\label{eq:2.6.1}
\end{equation}\]
按各固有模態展開後，
\[\begin{equation}
U = U_j e^{i \omega_j t}
\label{eq:2.6.2}
\end{equation}\]
將其代入式\(\eqref{eq:2.6.1}\) 可得
\[\begin{equation}
K U_j = \omega_j^2 M U_j
\label{eq:2.6.3}
\end{equation}\]
由此得到一般化特徵值問題。其數值解法（帶位移的反迭代法、Lanczos 法）在模態分析 中說明。本節整理所得自然頻率與固有模態中，後續諧波響應展開所使用的性質。
自然頻率的實數性
以下證明自然頻率為實數。令 \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ，對式\(\eqref{eq:2.6.3}\) 取複共軛可得式\(\eqref{eq:2.6.4}\) 。
\[\begin{equation}
K U_j = \lambda_j M U_j
K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J}
\label{eq:2.6.4}
\end{equation}\]
左乘 \(\overline{U}_J^T\) 得
\[\begin{equation}
U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J
U_j^T M \overline{U}_J
\overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j
\label{eq:2.6.5}
\end{equation}\]
由式\(\eqref{eq:2.6.5}\) ，
\[\begin{equation}
0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j
\label{eq:2.6.6}
\end{equation}\]
可得。由於質量矩陣為正定對稱矩陣，因此對非零特徵向量有
\[\begin{equation}
\overline{U_J} M U_j > 0
\label{eq:2.6.7}
\end{equation}\]
成立。因此，
\[\begin{equation}
\lambda_j =\overline{\lambda_J}
\label{eq:2.6.8}
\end{equation}\]
故 \(\omega_j^2 = \lambda_j\) 為實數。
固有模態的正交性與正規化
考慮兩個不同的模態。
\[\begin{equation}
K U_i = \lambda_i M U_i
K U_j = \lambda_j M U_j
\label{eq:2.6.9}
\end{equation}\]
由此可得
\[\begin{equation}
( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.10}
\end{equation}\]
並且當特徵值不同時，
\[\begin{equation}
U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.11}
\end{equation}\]
因此，不同的固有模態對質量矩陣互相正交。
對同一模態，依式\(\eqref{eq:2.6.12}\) 相對於質量矩陣進行正規化，可使後續處理更為容易。
\[\begin{equation}
U_i^T M U_i = 1
\label{eq:2.6.12}
\end{equation}\]
含阻尼的諧波響應
接著給出考慮阻尼時的頻率響應分析定式化。所考慮的運動方程式如式\(\eqref{eq:2.6.13}\) 所示。
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F
\label{eq:2.6.13}
\end{equation}\]
此處假設阻尼項為 Rayleigh 型，並以式\(\eqref{eq:2.6.14}\) 表示。
\[\begin{equation}
C = \alpha M + \beta K
\label{eq:2.6.14}
\end{equation}\]
利用模態分析所得的特徵向量，時刻 t 的位移向量可如式\(\eqref{eq:2.6.15}\) 展開。
\[\begin{equation}
U(t) = \sum_i b_i(t) U_i
\label{eq:2.6.15}
\end{equation}\]
此時，設外力項為下列諧波振子形式
\[\begin{equation}
F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.16}
\end{equation}\]
並求得 \(b_{j}(t)\) 。由於式\(\eqref{eq:2.6.13}\) 的運動方程式成為受迫振動形式，因此
\[\begin{equation}
b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.17}
\end{equation}\]
成立。求得展開係數 \(b_{j}(t)\) 的實部與虛部後，分別得到式\(\eqref{eq:2.6.18}i\) 與式\(\eqref{eq:2.6.19}\) 的形式。
\[\begin{equation}
b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.18}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.19}
\end{equation}\]
由此得到所需的諧波響應係數。
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