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數值積分

在內力虛功的離散化及外力虛功與整體方程式的組裝中得到的元素內力向量 \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) 與元素剛性矩陣 \(\boldsymbol{K}^e\)，皆可寫成元素域 \(\Omega^e\) 或 \(\Omega^e_0\) 上的積分形式。FrontISTR 使用 Gauss 積分公式對這些積分進行數值計算。

Gauss 積分公式與變數變換

Gauss 積分公式將標準域 \(\Xi\) 上的積分，以積分點 \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) 的被積函數值與權重 \(w_i\) 的線性組合近似。將其套用至元素域 \(\Omega^e\) 時，需透過映射 \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) 進行變數變換，

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

其中 \(n_q\) 為積分點數，\(J_{\xi_i}\) 為變換 Jacobian 的行列式。標準域 \(\Xi\) 依元素類型而定（六面體為 \([-1,1]^3\)；三角形、四面體與楔形元素則使用各自的基準形狀），積分點 \(\boldsymbol{\xi}_i\) 與權重 \(w_i\) 以數值表給定。面積分則可藉由將元素面由二維標準域映射而以相同形式處理。

FrontISTR 採用的代表性積分點數如下所示（元素類型的對應關係請參閱元素編號體系與形狀函數函式庫）。

元素類型 積分公式 積分點數
4 節點四面體（tet4n） 1 點公式 1
10 節點四面體（tet10n） 4 點公式 4
6 節點三角柱（prism6n） 2 點公式 2
15 節點三角柱（prism15n） 9 點公式 9
8 節點六面體（hex8n） 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 節點六面體（hex20n） 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 節點四邊形（quad4n） 2×2 Gauss-Legendre 4
8 節點四邊形（quad8n） 3×3 Gauss-Legendre 9
3 節點三角形（tri3n） 1 點公式 1
6 節點三角形（tri6n） 3 點公式 3

對六面體、四邊形與線元素，使用各座標軸方向 Gauss-Legendre 公式的張量積。三角形、四面體與三角柱則使用適合單純形幾何的專用公式（可在三角形本身上精確積分多項式的積分點配置）。

套用至元素積分

在元素積分中，以自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 作為標準域座標（\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)），並以形狀函數對節點座標插值，建立到物理座標的映射。依據所選擇的參考配置（增量分析架構），分別採用以下形式。

Total Lagrange 法（在基準配置 \(\Omega^e_0\) 上積分）：映射與 Jacobian 為

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

並將元素內力與剛性矩陣近似為

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

其中 \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) 均在積分點 \(\boldsymbol{r}_i\) 上計算。

Updated Lagrange 法（在目前配置 \(\Omega^e\) 上積分）：映射與 Jacobian 為

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

並有

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

作為近似。

兩種定式化唯一的差異，是映射所使用的節點座標為 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) 或 \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)；積分點、權重與積分點迴圈的結構皆相同。

完全積分與降階積分

使用足以精確積分被積函數多項式次數之積分點數的積分稱為完全積分；使用少一階積分點數的積分稱為降階積分。降階積分可用於緩解剪切鎖定與體積鎖定，但必須處理砂漏模態等非物理變形模態。各元素類型的積分點數，以及完全積分／降階積分的選擇，請參閱元素編號體系與形狀函數函式庫及其後續章節，以及高效能元素定式化。

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