跳轉至

形狀函數的空間導數

在形狀函數與有限元素近似中導入的形狀函數 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)，是元素局部座標即自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 的函數。另一方面，弱形式的被積函數透過應變－位移關係，會出現相對於物理座標（基準配置 \(\boldsymbol{X}\) 或目前配置 \(\boldsymbol{x}\)）的偏導數 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) 或 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\)。本章整理由元素節點座標與自然座標導數計算這些形狀函數空間導數的步驟。

以連鎖律表示空間導數

對插值式 \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\)（前一章）套用連鎖律，並使用由自然座標映射至物理座標的 Jacobian 矩陣 \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\)，可得

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

其中 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) 與 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) 是第 \(\alpha\) 行表示節點 \(\alpha\) 偏導數向量的 \(n_e \times 3\) 矩陣。

Jacobian 矩陣的構成

將插值式對 \(\boldsymbol{r}\) 偏微分可得

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

因此可由元素節點座標 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) 與自然座標導數 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) 直接構成 Jacobian 矩陣。自然座標導數由形狀函數的函數形式決定，並依元素類型預先實作。

Jacobian 矩陣的行列式 \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) 用於數值積分中的體積微元變換 \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\)。若行列式為 \(0\)，表示元素已退化，計算將無法進行。

計算流程

由上述推導，空間導數 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) 的計算可分為以下 4 個階段。

  1. 計算自然座標導數：以元素類型與評估點的自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 為輸入，計算自然座標導數矩陣 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)。由於形狀函數的函數形式依元素類型而異，因此處理會依元素類型分支。
  2. 計算 Jacobian 矩陣：由元素節點座標 \(\boldsymbol{X}^e\) 與 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)，依前節公式組裝 Jacobian 矩陣 \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)。
  3. 計算反矩陣與行列式：計算 Jacobian 矩陣的反矩陣 \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) 與行列式。行列式用於數值積分的權重。
  4. 計算空間導數：將 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) 與 \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) 相乘，得到空間導數 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)。

這 4 個階段會依元素類型與空間維度（二維、三維）分支，但整體流程相同。

基準配置與目前配置的共通化

上述步驟只需將 \(\boldsymbol{X}^e\) 替換為目前配置的節點座標 \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\)，即可套用於目前配置中的空間導數 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\)。因此，Total Lagrange 法與 Updated Lagrange 法只需切換輸入的節點座標，即可共用相同步驟。

相關項目