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元素編號體系與形狀函數函式庫

在形狀函數與有限元素近似中導入的形狀函數 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)，對每一種元素類型都有其特定形式。本章使用三位數元素類型編號，整理 FrontISTR 所提供的元素群組，並說明用於統一處理各種元素的形狀函數函式庫介面。三維實體元素的具體自然座標系與形狀函數，以及二次元素的中間節點排序轉換，請參閱三維實體元素的形狀函數；元素類型的選擇指引則請參閱元素函式庫（功能）。

元素分類與命名規則

FrontISTR 的元素類型以三位數編號識別。各位數的意義如下。

  • 第一位（元素群組）：1 = 線元素／桿元素，2 = 平面元素，3 = 實體元素，5 = 介面元素，6 = 梁元素，7 = 殼元素。
  • 第二位（基本形狀）：區分元素群組內的幾何形狀（三角形、四邊形、四面體、稜柱或六面體）。
  • 第三位（內插階次）：1 = 一次（僅角節點），2 = 二次（包含中間節點）。例外是二節點桿元素，其編號為 301。

下表依元素群組列出所提供的元素。

元素群組 元素類型 節點數 說明
線元素 111 2 2 節點連桿元素（不可用於應力分析）
112 3 3 節點連桿元素（不可用於應力分析）
平面元素 231 3 3 節點一次三角形元素
232 6 6 節點二次三角形元素
241 4 4 節點一次四邊形元素
242 8 8 節點二次四邊形元素（Serendipity 族）
實體元素 301 2 2 節點桿元素
341 4 4 節點一次四面體元素
342 10 10 節點二次四面體元素
351 6 6 節點一次稜柱元素
352 15 15 節點二次稜柱元素
361 8 8 節點一次六面體元素
362 20 20 節點二次六面體元素（Serendipity 族）
介面元素 541 4×2 4 節點一次四邊形面元素（不可用於應力分析）
542 8×2 8 節點二次四邊形面元素（不可用於應力分析）
梁元素 611 2 2 節點 Bernoulli-Euler 梁元素（每節點 6 自由度）
641 2×2 2 節點 Bernoulli-Euler 梁元素（每節點 3 自由度，用於混合自由度）
殼元素 731 3 MITC3 三角形殼元素（每節點 6 自由度）
741 4 MITC4 四邊形殼元素（每節點 6 自由度）
743 9 MITC9 四邊形殼元素（每節點 6 自由度）
761 3×2 MITC3 三角形殼元素（每節點 3 自由度，用於混合自由度）
781 4×2 MITC4 四邊形殼元素（每節點 3 自由度，用於混合自由度）

六面體一次元素 361 有多種公式化方式（完全積分、不相容模式、B-bar 與 F-bar），可透過分析控制加以選擇。詳情請參閱高性能元素公式。

梁元素 641 與殼元素 761/781 是用於將具有 6 自由度的結構元素，與同一節點上具有 3 自由度的實體元素連接的公式；一個結構節點以兩個 3 自由度節點表示。其公式本身與對應的 6 自由度版本（611、731、741）相同。

形狀函數函式庫

元素計算程序（剛性矩陣與內力向量的建構）並不針對每一種元素類型各自提供程序，而是透過統一介面呼叫形狀函數函式庫，並將元素類型編號 fetype 作為引數。elementInfo 模組（fistr1/src/lib/element/element.f90）提供下列函數。

  • NumOfQuadPoints(fetype)：傳回該元素類型的積分點數 \(n_q\)。
  • getQuadPoint(fetype, np, pos)：傳回積分點 \(i\) 的自然座標 \(\boldsymbol{r}_i\)。
  • getWeight(fetype, np)：傳回積分點 \(i\) 的權重 \(w_i\)。
  • getShapeFunc(fetype, r, N)：傳回自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 處的形狀函數值 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)。
  • getShapeDeriv(fetype, r, dN)：傳回形狀函數對自然座標的導數 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{r}\)。
  • getGlobalDeriv(fetype, n_e, r, X^e, J, dN_x)：給定元素節點座標 \(\boldsymbol{X}^e\)，傳回對物理座標的導數 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) 與 Jacobian 行列式 \(J\)。
  • getNumberOfSubface(fetype)、getSubFace(fetype, k, ...)：傳回元素邊界面的數量，以及構成各面的節點編號。用於建構表面載荷與接觸面。

各函數會在內部依元素類型編號分支，並呼叫為各元素類型提供的下層模組（tet4n.f90、tet10n.f90、prism6n.f90、prism15n.f90、hex8n.f90、hex20n.f90、tri3n.f90、tri6n.f90、quad4n.f90、quad8n.f90、quad9n.f90、line2n.f90、line3n.f90）中的形狀函數與形狀函數導數副程式。積分點座標與權重的數值表集中在 quadrature.f90 中。若要新增元素類型，需實作對應的下層模組，並在 elementInfo 的各函數中新增分支。

二次三角形元素的中間節點排序轉換

對二次三角形元素 232，HEC-MW 網格輸入格式（先依元素周邊排列角節點，再依邊 1-2、2-3、… 排列中間節點）與元素函式庫形狀函數所假定的 FrontISTR 內部格式，其中間節點的排列順序不同。這兩種格式的差異會在網格載入後立即由 hecmw2fstr_mesh_conv（fistr1/src/common/hecmw2fstr_mesh_conv.f90 與 hecmw2fstr_connect_conv.c）處理，依轉換表 Table232 將六個節點重新排列為 \(\{1,2,3,6,4,5\}\)。由於轉換直接作用於儲存元素連接資訊的陣列，因此後續所有元素函式庫呼叫都使用 FrontISTR 內部節點順序。輸出結果時，反向轉換 fstr2hecmw_mesh_conv 會在寫出前還原為 HEC-MW 格式，因此使用者對輸入與輸出都只需留意 HEC-MW 格式。

二次三維實體元素 342（四面體）與 352（稜柱）也有類似的自動轉換，而 362（二次六面體）則不進行轉換。其處理方式請參閱三維實體元素的形狀函數。對二次平面四邊形元素 242 與介面元素 542，由於 HEC-MW 輸入格式與內部格式的中間節點順序相同，因此不進行轉換。

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