線性彈性¶

本章說明線性彈性材料的構成律（Hooke 定律）。模型選擇與輸入指定的詳細內容請參閱功能篇 03_material。

現象（線性彈性響應）¶

線性彈性體是指在載荷造成的應變充分小的範圍內，應力與應變呈線性關係，且卸載後全部應變皆恢復原狀，呈現可逆且與歷程無關之響應的材料。與塑性或潛變不同，它不具有表示狀態的內部變數（例如塑性應變或黏性應變），應力僅由當前應變唯一決定。

在小變形範圍使用 Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\) 與微小應變 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)；在有限變形範圍（包含大轉動但應變本身仍小的問題）則使用第二 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{S}\) 與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\)（St.Venant-Kirchhoff 材料）。

構成律¶

等向性線性彈性體¶

在小變形範圍內，等向性 Hooke 定律使用 Lamé 常數 \(\lambda, \mu\) 表示為

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

以分量表示則為

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

與應變作雙重縮約後得到 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\)。Lamé 常數與 Young 模數 \(E\)、Poisson 比 \(\nu\) 的關係如下：

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

在 Voigt 表記中，應變向量 \(\hat{\varepsilon}\) 與應力向量 \(\hat{\sigma}\) 的關係可寫為 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)，三維材料矩陣 \(D\) 為

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

（實作中使用此矩陣表示）。

正交異向性線性彈性體¶

對各主軸方向具有不同彈性常數的材料，採用具有 9 個獨立常數的正交異向性模型：主軸方向的 Young 模數 \(E_1, E_2, E_3\)、主軸間的 Poisson 比 \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)，以及剪切模數 \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)。\(D\) 矩陣的具體形式請參閱一般參考文獻。

有限變形範圍：St.Venant-Kirchhoff 材料¶

對包含大轉動但應變本身仍小的問題，採用 St.Venant-Kirchhoff 材料，作為第二 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{S}\) 與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\) 之間的線性彈性定律：

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé 常數 \(\lambda, \mu\) 的定義與小變形情況相同。但請注意，由於應力與應變的定義組合不同，因此這是不同於小變形 Hooke 定律的另一種構成律。

亞彈性材料¶

在 Updated Lagrange 法中，採用相對 Kirchhoff 應力張量的 Jaumann 率 \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) 與變形率張量 \(\boldsymbol{D}\) 之間的線性彈性律

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

所形成的亞彈性材料。此處以 Lamé 常數定義 \(\boldsymbol{C}\) 的方式也與上述相同，但由於應力－應變的組合不同，因此屬於不同的構成律。關於透過時間積分程序（前向 Euler 積分與中心差分近似）更新 \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) 的詳細內容，請參閱 tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex。

二維分析與殼元素的簡化¶

平面應力（\(\sigma_{33} = 0\)）¶

對表示薄板或殼受載狀態的平面應力，假設 \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\)，並使用以代數方式消去面外方向應變分量 \(\varepsilon_{33}\) 後的 \(D\)：

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

平面應變（\(\varepsilon_{33} = 0\)）¶

對表示厚度方向受拘束之長結構截面的平面應變，假設 \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\)：

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

軸對稱¶

在圓柱座標 \((r, \theta, z)\) 中處理 \(\theta\) 方向均勻問題的軸對稱分析，保留 \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) 與 \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) 共 4 個分量，並有

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

。

殼元素（平面應力 + 橫向剪切）¶

在殼元素中，面內應力以平面應力處理；此外，對橫向剪切應變分量 \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)，使用乘上剪切修正係數 \(\kappa\)（一般為 \(\kappa = 5/6\)）的 \(\kappa\, G\)。各元素的具體定式化請參閱高效能元素定式化。功能篇 03_material 中「殼元素僅支援線性彈性」的規格，即以將面內狀態作為平面應力處理的此一簡化為基礎。

溫度相依性¶

Young 模數 \(E\)、Poisson 比 \(\nu\) 與線膨脹係數 \(\alpha\) 通常指定為溫度 \(T\) 的函數。FrontISTR 輸入有限個溫度點列 \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) 的對應值，計算中的溫度 \(T\) 則以相鄰點之間的線性插值求值。對範圍外的溫度（\(T < T_1\) 或 \(T > T_n\)），使用最近端點 \(T_1\) 或 \(T_n\) 的值進行外插（常數外插）。

熱與熱傳導物性（密度、比熱、熱傳導率）的溫度相依性請參閱熱物性。其插值規則與上述相同。