Aller au contenu

Dérivées spatiales des fonctions de forme

Les fonctions de forme \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduites dans Fonctions de forme et approximation par éléments finis sont données comme fonctions des coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r}\), qui sont les coordonnées locales d'un élément. D'autre part, via la relation déformation-déplacement, les intégrandes de la forme faible font intervenir des dérivées partielles par rapport aux coordonnées physiques (configuration de référence \(\boldsymbol{X}\) ou configuration actuelle \(\boldsymbol{x}\)), à savoir \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ou \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Cette section présente la procédure de calcul de ces dérivées spatiales des fonctions de forme à partir des coordonnées nodales de l'élément et des dérivées par rapport aux coordonnées naturelles.

Expression des dérivées spatiales par la règle de la chaîne

En appliquant la règle de la chaîne à la formule d'interpolation \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (section précédente), et en utilisant la matrice jacobienne \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) de la transformation des coordonnées naturelles vers les coordonnées physiques, on obtient

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

où \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) et \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sont des matrices \(n_e \times 3\) dont la ligne \(\alpha\) représente le vecteur des dérivées partielles pour le nœud \(\alpha\).

Construction de la matrice jacobienne

En dérivant la formule d'interpolation par rapport à \(\boldsymbol{r}\), on obtient

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Ainsi, la matrice jacobienne peut être construite directement à partir des coordonnées nodales de l'élément \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) et des dérivées en coordonnées naturelles \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Ces dérivées sont déterminées par la forme fonctionnelle des fonctions de forme et sont implémentées à l'avance pour chaque type d'élément.

Le déterminant de la matrice jacobienne \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) est utilisé dans l'intégration numérique pour transformer l'élément de volume selon \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Si le déterminant devient \(0\), l'élément est dégénéré et le calcul échoue.

Déroulement du calcul

D'après la dérivation ci-dessus, le calcul des dérivées spatiales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) peut être décomposé en quatre étapes.

  1. Calcul des dérivées en coordonnées naturelles : à partir du type d'élément et des coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r}\) du point d'évaluation, calculer la matrice des dérivées \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). La forme fonctionnelle des fonctions de forme dépendant du type d'élément, le traitement se ramifie selon ce type.
  2. Calcul de la matrice jacobienne : à partir des coordonnées nodales \(\boldsymbol{X}^e\) et de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), assembler la matrice jacobienne \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) à l'aide de l'équation de la section précédente.
  3. Calcul de la matrice inverse et du déterminant : calculer l'inverse \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) et le déterminant de la matrice jacobienne. Le déterminant est utilisé dans la pondération de l'intégration numérique.
  4. Calcul des dérivées spatiales : obtenir les dérivées spatiales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) comme produit de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) et de \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Ces quatre étapes se ramifient selon le type d'élément et la dimension spatiale (deux ou trois dimensions), mais le déroulement général est commun.

Traitement commun des configurations de référence et actuelle

La procédure ci-dessus s'applique également à la configuration actuelle en remplaçant simplement \(\boldsymbol{X}^e\) par les coordonnées nodales actuelles \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), ce qui permet d'obtenir les dérivées spatiales \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). La même procédure peut ainsi être utilisée pour les formulations Total Lagrange et Updated Lagrange en ne changeant que les coordonnées nodales d'entrée.

Rubriques connexes