Aller au contenu

Équation de conduction thermique

Ce chapitre présente l'équation gouvernante de la conduction thermique traitée par FrontISTR au niveau du milieu continu ainsi que ses conditions aux limites. La discrétisation temporelle et la discrétisation par éléments finis sont traitées dans la section de discrétisation (L3d) et dans la section des algorithmes de résolution (L3e : solution_methods/05_transient_heat).

Équation gouvernante

L'équation de conduction thermique dans un milieu continu s'écrit comme suit.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Ici, \(\rho=\rho(x)\) désigne la masse volumique, \(c=c(x,T)\) la chaleur spécifique, \(T=T(x,t)\) la température, \(k=k(x,T)\) la conductivité thermique, \(Q=Q(x,T,t)\) la génération de chaleur, \(x\) la position et \(t\) le temps. \(k_x, k_y, k_z\) sont les conductivités thermiques dans les directions correspondantes pour une conduction thermique anisotrope.

Pour les propriétés thermiques détaillées, notamment la dépendance en température et l'anisotropie, voir Propriétés thermiques.

Conditions aux limites

Soit \(S\) le domaine considéré et \(\Gamma\) sa frontière. En supposant qu'une condition aux limites de type Dirichlet ou Neumann soit prescrite en tout point de \(\Gamma\), les conditions aux limites s'écrivent comme suit.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Les formes fonctionnelles de \(T_1\) et de \(q\) sont supposées connues. \(q\) est le flux thermique sortant de la frontière. Le flux thermique à la frontière \(q\) se compose des trois contributions suivantes.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Ici, \(q_s\) est le flux thermique réparti, \(q_c\) le flux thermique dû à la convection et \(q_r\) le flux thermique dû au rayonnement.

Ici, \(Tc=Tc(x,t)\) est la température ambiante pour le transfert thermique par convection, \(hc=hc(x,t)\) le coefficient de convection, \(Tr=Tr(x,t)\) la température ambiante pour le transfert thermique radiatif, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) le coefficient de transfert radiatif, \(\varepsilon\) l'émissivité, \(\sigma\) la constante de Stefan-Boltzmann et \(F\) le facteur de forme.

Pour la manière de spécifier ces conditions dans un fichier d'entrée, voir Conditions aux limites et chargements dans la référence des fonctions.

Forme faible

Couplage avec l'analyse structurale

Rubriques connexes