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Equação da Condução de Calor

Este capítulo resume, ao nível do contínuo, a equação governante da condução de calor tratada pelo FrontISTR e as respetivas condições de fronteira. A discretização temporal e a discretização por FEM são remetidas para a secção de discretização (L3d) e para a secção de algoritmos de solução (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Equação governante

A equação da condução de calor num contínuo é dada da seguinte forma.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Aqui, \(\rho=\rho(x)\) representa a massa volúmica, \(c=c(x,T)\) o calor específico, \(T=T(x,t)\) a temperatura, \(k=k(x,T)\) a condutividade térmica, \(Q=Q(x,T,t)\) a geração de calor, \(x\) a posição e \(t\) o tempo. \(k_x, k_y, k_z\) são as condutividades térmicas nas respetivas direções para condução de calor anisotrópica.

Para propriedades térmicas específicas, incluindo dependência da temperatura e anisotropia, consulte Propriedades térmicas.

Condições de fronteira

Seja o domínio considerado \(S\), com a sua fronteira representada por \(\Gamma\). Admitindo que em toda a \(\Gamma\) é prescrita uma condição de fronteira do tipo Dirichlet ou do tipo Neumann, as condições de fronteira são dadas da seguinte forma.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Aqui, assume-se que as formas funcionais de \(T_1\) e \(q\) são conhecidas. \(q\) é o fluxo de calor que sai pela fronteira. O fluxo de calor na fronteira \(q\) é composto pelos três componentes seguintes.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Aqui, \(q_s\) é o fluxo de calor distribuído, \(q_c\) é o fluxo de calor devido à transferência de calor por convecção e \(q_r\) é o fluxo de calor devido à transferência de calor por radiação.

Aqui, \(Tc=Tc(x,t)\) é a temperatura ambiente para a transferência de calor por convecção, \(hc=hc(x,t)\) é o coeficiente de transferência de calor por convecção, \(Tr=Tr(x,t)\) é a temperatura ambiente para a transferência de calor por radiação, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) é o coeficiente de transferência de calor por radiação, \(\varepsilon\) é a emissividade, \(\sigma\) é a constante de Stefan-Boltzmann e \(F\) é o fator de forma.

Para saber como especificar estas condições num ficheiro de entrada, consulte Condições de fronteira e cargas na referência de funções.

Forma fraca

Acoplamento com a análise estrutural

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