Analyse modale¶

Problème généralisé aux valeurs propres¶

Pour l'analyse des vibrations libres d'un milieu continu, le domaine est discrétisé spatialement et modélisé comme un système à plusieurs degrés de liberté constitué de masses concentrées, comme illustré à la Figure 2.3.1. Pour un problème de vibration libre non amortie, l'équation gouvernante (équation du mouvement) est la suivante.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

où $u$ est le vecteur des déplacements généralisés, $M$ la matrice de masse et $K$ la matrice de rigidité. Soit $\omega$ la pulsation propre, $a$, $b$ et $c$ des constantes arbitraires, et $x$ un vecteur. On définit la fonction

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

La dérivée seconde de cette expression est

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

En substituant ces expressions dans l'équation $\eqref{eq:2.3.1}$, on obtient

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

c'est-à-dire

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

On obtient alors

Ainsi, si le coefficient $\lambda = \omega^2$ satisfaisant l'équation $\eqref{eq:2.3.5}$ et le vecteur $x$ peuvent être déterminés, la fonction $u(t)$ est une solution de l'équation $\eqref{eq:2.3.1}$.

Le coefficient $\lambda$ est appelé valeur propre et le vecteur $x$ vecteur propre. Le problème consistant à les déterminer à partir de l'équation $\eqref{eq:2.3.1}$ est appelé problème généralisé aux valeurs propres.

Exemple de système à plusieurs degrés de liberté en vibration libre non amortie

Figure 2.3.1 Exemple de système à plusieurs degrés de liberté en vibration libre non amortie

Propriétés et hypothèses sur les matrices¶

Pour le problème généralisé aux valeurs propres $K x = \lambda M x$ obtenu à la section précédente, ce manuel suppose les propriétés matricielles suivantes. Ces hypothèses conditionnent la convergence et le domaine d'application des méthodes d'itération inverse décalée et de Lanczos décrites ci-après. Pour une matrice complexe, la transposée est la conjuguée complexe, tandis qu'une matrice réelle est symétrique. Plus précisément, pour la matrice $K$, si sa composante $ij$ est $k_{ij}$ et si le conjugué complexe de $k$ est noté $\bar{k}$, alors

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

la relation suivante est satisfaite.

Dans ce manuel, les matrices sont supposées symétriques et définies positives. Une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres positives ; de manière équivalente, elle satisfait toujours l'équation $\eqref{eq:2.3.7}$ ci-dessous.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Itération inverse décalée¶

Dans l'analyse structurale par éléments finis, il n'est généralement pas nécessaire, en pratique, de calculer toutes les valeurs propres ; dans de nombreux cas, quelques valeurs propres de bas ordre suffisent. HEC-MW est destiné au traitement de problèmes de grande taille, pour lesquels les matrices sont grandes et très creuses (elles comportent de nombreux éléments nuls). Il est donc important de calculer efficacement les valeurs propres des modes de bas ordre en tenant compte de cette caractéristique.

Soit $\sigma$ la borne inférieure des valeurs propres. L'équation $\eqref{eq:2.3.5}$ peut alors être transformée sous la forme mathématiquement équivalente suivante.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Cette transformation présente les propriétés suivantes, avantageuses pour le calcul.

L'ordre des modes est inversé.
Les valeurs propres au voisinage de $\rho$ sont transformées en valeurs maximales.

En pratique, les plus grandes valeurs propres sont souvent obtenues en premier. Le calcul principal de convergence est donc appliqué à l'équation $\eqref{eq:2.3.8}$ plutôt qu'à l'équation $\eqref{eq:2.3.5}$, afin d'obtenir d'abord les valeurs propres proches de $\rho$. Cette technique est appelée itération inverse décalée.

Méthode de Lanczos¶

Justification du choix (comparaison avec la méthode de Jacobi)¶

Parmi les méthodes classiques, la méthode de Jacobi est bien connue.

Cette méthode est efficace lorsque la matrice est de petite taille et dense. Cependant, comme les matrices traitées par HEC-MW sont de grande taille et creuses, la méthode de Jacobi n'est pas utilisée ; la méthode itérative de Lanczos est employée à la place.

Algorithme et caractéristiques¶

Proposée par C. Lanczos dans les années 1950, cette méthode est un algorithme de réduction d'une matrice sous forme tridiagonale et présente les caractéristiques suivantes.

Il s'agit d'une méthode itérative convergente qui permet de poursuivre le calcul en conservant la matrice sous forme creuse.
L'algorithme repose principalement sur des produits matrice-vecteur et se prête bien à la parallélisation.
Elle convient bien à la décomposition géométrique de domaine associée aux maillages d'éléments finis.
Le calcul peut être rendu efficace en limitant le nombre de valeurs propres et la plage de modes à déterminer.

La méthode de Lanczos part d'un vecteur initial, génère successivement des vecteurs orthogonaux et construit ainsi une base d'un sous-espace. Elle est réputée plus rapide que la méthode des sous-espaces, autre méthode itérative, et est largement utilisée dans les programmes d'éléments finis. Cependant, cette méthode est sensible aux erreurs numériques, qui peuvent dégrader l'orthogonalité des vecteurs et entraîner l'échec du calcul. Il est donc indispensable de prendre des mesures contre ces erreurs numériques.

Interprétation géométrique (sous-espace de Krylov)¶

En introduisant le changement de variables suivant dans l'équation $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

le problème peut être réécrit sous la forme

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

On obtient

Pour un vecteur approprié $q_0$, on applique la transformation linéaire représentée par la matrice $A$ (voir Figure 2.3.2).

$Transformation linéaire de $q_0$ par la matrice $A$$

Figure 2.3.2 Transformation linéaire de $q_0$ par la matrice $A$

Le vecteur transformé est orthogonalisé dans l'espace engendré avec le vecteur d'origine. Autrement dit, on effectue une orthogonalisation de Gram-Schmidt comme illustré à la Figure 2.3.2. On note $r_1$ le vecteur ainsi obtenu, puis on le normalise à une longueur unitaire pour obtenir $q_1$ (Figure 2.3.3). De la même manière, on obtient $q_2$ à partir de $q_1$. À ce stade, $q_2$ est orthogonal à la fois à $q_1$ et à $q_0$ (Figure 2.3.4). En poursuivant le même calcul, on obtient des vecteurs mutuellement orthogonaux jusqu'à l'ordre de la matrice.

$Vecteur $q_1$ orthogonal à $q_0$$

Figure 2.3.3 Vecteur $q_1$ orthogonal à $q_0$

$Vecteur $q_2$ orthogonal à $q_1$ et $q_0$$

Figure 2.3.4 Vecteur $q_2$ orthogonal à $q_1$ et $q_0$

En particulier, l'algorithme de Lanczos s'applique à la suite de vecteurs $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ou, de manière équivalente, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

par orthogonalisation de Gram-Schmidt. Cette suite de vecteurs est appelée suite de Krylov, et l'espace qu'elle engendre est appelé sous-espace de Krylov. Lorsque l'orthogonalisation de Gram-Schmidt est effectuée dans cet espace, chaque nouveau vecteur peut être obtenu à partir des deux vecteurs les plus récents. C'est ce que l'on appelle le principe de Lanczos.

Tridiagonalisation¶

Dans l'itération ci-dessus, le calcul du vecteur (i+1)-ième s'écrit

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

où

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Sous forme matricielle, cela devient

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

où

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Ainsi, les valeurs propres sont obtenues en résolvant le problème aux valeurs propres pour la matrice tridiagonale obtenue à partir de l'équation $\eqref{eq:2.3.13}$.

Rubriques connexes¶

Analyse de réponse fréquentielle — Réponse fréquentielle utilisant les résultats de l'analyse modale
Types d'analyse — Vue d'ensemble fonctionnelle de l'analyse modale