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열전도 방정식

이 장에서는 FrontISTR가 대상으로 하는 열전도의 지배방정식(연속체 수준)과 경계 조건을 정리한다. 시간 이산화 및 FEM 이산화는 이산화(L3d)와 해법 알고리즘(L3e: solution_methods/05_transient_heat)에서 다룬다.

지배방정식

연속체에서의 열전도 방정식은 다음과 같다.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

여기서 \(\rho=\rho(x)\)는 질량 밀도, \(c=c(x,T)\)는 비열, \(T=T(x,t)\)는 온도, \(k=k(x,T)\)는 열전도율, \(Q=Q(x,T,t)\)는 발열량, \(x\)는 위치, \(t\)는 시간을 나타낸다. \(k_x, k_y, k_z\)는 이방성 열전도에서 각 방향의 열전도율이다.

구체적인 열물성(온도 의존성·이방성)은 열물성을 참조한다.

경계 조건

고려하는 영역을 \(S\), 그 경계를 \(\Gamma\)라 한다. \(\Gamma\) 위의 모든 점에서 Dirichlet형 또는 Neumann형 경계 조건 중 하나가 주어진다고 가정하면 경계 조건은 다음과 같다.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

단, \(T_1\)과 \(q\)의 함수형은 알려져 있다고 한다. \(q\)는 경계로부터 유출되는 열유속이다. 경계 열유속 \(q\)는 다음 세 종류의 성분으로 구성된다.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

여기서 \(q_s\)는 분포 열유속, \(q_c\)는 대류 열전달에 의한 열유속, \(q_r\)는 복사 열전달에 의한 열유속이다.

단, \(Tc=Tc(x,t)\)는 대류 열전달의 주위 온도, \(hc=hc(x,t)\)는 대류 열전달계수, \(Tr=Tr(x,t)\)는 복사 열전달의 주위 온도, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\)는 복사 열전달계수, \(\varepsilon\)는 방사율, \(\sigma\)는 Stefan-Boltzmann 상수, \(F\)는 형상계수이다.

입력 파일에서 지정하는 방법은 기능편 경계 조건·하중을 참조한다.

약형

구조 해석과의 연성 경계

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