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크리프

이 장에서는 FrontISTR가 채택하는 크리프 구성법칙을 다룬다. 사용 구분과 입력 지정에 대한 자세한 내용은 기능편 03_material을 참조한다.

크리프 현상과 변형률의 가산 분해

응력이 일정한 상황에서 나타나는 시간 의존적 변위는 「크리프」라고 하는 현상이다.

앞에서 설명한 점탄성 거동도 일종의 선형 크리프 현상으로 생각할 수 있다. 여기서는 몇 가지 비선형 크리프에 대해 설명한다. 이 현상은 순간적으로 발생하는 변형률에 추가하는 방식으로 구성식을 만드는 방법이 일반적으로 사용되며, 일정한 하중이 지속되는 동안의 변형률을 크리프 변형률 \(\varepsilon^c\)로 한다. 크리프를 고려한 구성식에서는 일반적으로 응력과 전체 크리프 변형률의 함수로 정의되는 크리프 변형률 속도 \(\dot{\varepsilon}^c\)를 사용한다.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

여기서 순간적으로 발생하는 변형률을 탄성 변형률 \(\varepsilon^e\)라고 하면 전체 변형률은 크리프 변형률을 더한 다음 식으로 나타낸다.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

여기서,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

이다(\(c\)는 탄성계수 텐서).

Norton 법칙

크리프 구성식의 구체적인 형태로 FrontISTR에서는 다음 Norton 모델을 채택한다. 그 구성식에서는 다음과 같이 등가 크리프 변형률 속도 \(\dot{\varepsilon}^{cr}\)가 Mises 응력 \(q\)와 시간 \(t\)의 함수로 표현된다.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

여기서 \(A\), \(m\), \(n\)은 재료 상수이다.

시간 적분과 응력 갱신

소성 재료와 마찬가지로 크리프를 나타내는 구성식에 대해서도 수치해석상의 시간 적분 방법을 제시해야 한다. 크리프를 고려한 구성식은,

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

여기서 \(\beta_{n+\theta}\)는,

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

로 한다. 또한 크리프 변형률 증분 \(\Delta \varepsilon^c\)는 비선형 방정식을 단순화한

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

으로 한다.

Newton-Raphson 법의 반복 계산에서는 초기값을 \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) 및 유한요소법에서 구한 변형률 증분으로 두며, 반복해와 증분해는 다음 식으로 한다.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

여기서,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

으로 한다. 잔차 \(R\)이 \(\mathbf{0}\)이 될 때까지 반복해법을 수행할 때 응력 \(\sigma_{n+1}\)과 접선계수

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

를 사용한다.

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