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Funciones de forma de elementos sólidos tridimensionales

En este capítulo se resumen los sistemas de coordenadas naturales y las formas explícitas de las funciones de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introducidas en Funciones de forma y aproximación por elementos finitos para los elementos sólidos tridimensionales que FrontISTR utiliza en el análisis de continuos. Los seis tipos de elementos considerados son tetraedros de primer/segundo orden (341/342), prismas triangulares de primer/segundo orden (351/352) y hexaedros de primer/segundo orden (361/362). Para el orden de los nodos y la numeración de caras en el formato de malla HEC-MW, consulte la Biblioteca de elementos de la referencia de funciones.

El procedimiento mediante el cual se construye la integración de elementos a partir de estas funciones de forma y del determinante jacobiano sigue Integración numérica. Las formulaciones B-bar, F-bar e incompatible del elemento 361, así como las funciones de forma de los elementos de viga y de lámina, se tratan en Formulaciones avanzadas de elementos.

Sistemas de coordenadas naturales y orden interno de nodos

Las funciones de forma se definen sobre las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r}\) de cada elemento. Los elementos sólidos tridimensionales utilizan los tres sistemas de coordenadas naturales siguientes según la forma del elemento.

  • Hexaedros (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedros (341/342): coordenadas volumétricas \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), con \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) y \(L_i \ge 0\). Se toman \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) como variables independientes y se define \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismas triangulares (351/352): se combinan las coordenadas volumétricas \((\xi, \eta)\) del triángulo de la base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) con la coordenada axial \(\zeta \in [-1, 1]\) para formar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). La cantidad auxiliar \(a = 1 - \xi - \eta\) se utiliza como tercera coordenada volumétrica de la base.

En los elementos de primer orden, la numeración de los nodos del elemento coincide entre el formato de entrada HEC-MW y el formato interno. En los elementos de segundo orden, las convenciones para ordenar los nodos intermedios de las aristas difieren entre ambos formatos. FrontISTR acepta como entrada el formato HEC-MW (primero se enumeran los nodos de esquina alrededor del elemento y después los nodos intermedios en el orden de las aristas 1-2, 2-3, …), mientras que las funciones de forma de la biblioteca de elementos están implementadas suponiendo un orden de nodos diferente.

La diferencia entre ambos formatos se resuelve mediante hecmw2fstr_mesh_conv, que se llama inmediatamente después de leer la malla y reordena los nodos de cada elemento. Entre los elementos sólidos tridimensionales, se convierten los dos tipos siguientes.

Tipo de elemento Tabla de conversión Descripción
342 (tetraedro de segundo orden) Table342 Reordena los 10 nodos como \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma triangular de segundo orden) Table352 Reordena los 15 nodos como \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Como el reordenamiento se realiza directamente sobre el array que almacena la conectividad de los elementos, todas las llamadas posteriores a la biblioteca de elementos utilizan el orden interno de nodos de FrontISTR. Para el elemento hexaédrico de segundo orden 362 no existe tabla de conversión, ya que el orden de los nodos intermedios coincide entre la entrada HEC-MW y el formato interno de FrontISTR. Al escribir los resultados se llama a la conversión inversa fstr2hecmw_mesh_conv para restaurar el orden de nodos del formato HEC-MW, por lo que el usuario solo necesita tener en cuenta el formato HEC-MW tanto para la entrada como para la salida. Los números de nodo de las funciones de forma mostradas a continuación corresponden al formato interno de FrontISTR después de la conversión.

Funciones de forma de elementos de primer orden

Las funciones de forma del elemento tetraédrico de primer orden (341) son las propias coordenadas volumétricas:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Las funciones de forma del elemento prismático triangular de primer orden (351) son el producto de las funciones de forma lineales del triángulo de la base (\(a, \xi, \eta\)) y las funciones de forma lineales en la dirección axial (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Las funciones de forma del elemento hexaédrico de primer orden (361) son el producto tensorial de las funciones de forma lineales en las tres direcciones de coordenadas:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Aquí, \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) representan los valores de las coordenadas naturales del nodo \(\alpha\) (cada componente es \(\pm 1\)).

Funciones de forma de elementos de segundo orden

Las funciones de forma del elemento tetraédrico de segundo orden (342) se dividen entre cuatro nodos de esquina y seis nodos intermedios de arista:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Los nodos intermedios 5–10 corresponden, respectivamente, a los puntos medios de las aristas 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 y 3-4.

Las funciones de forma del elemento prismático triangular de segundo orden (352) están formadas por seis nodos de esquina, seis nodos intermedios de arista sobre las caras triangulares y tres nodos intermedios de las aristas axiales:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Los nodos intermedios 7–9 corresponden a los puntos medios de las aristas del triángulo inferior (\(\zeta = -1\)), los nodos 10–12 a los del triángulo superior (\(\zeta = +1\)) y los nodos 13–15 a los puntos medios de las aristas axiales.

El elemento hexaédrico de segundo orden (362) es un elemento de 20 nodos de la familia Serendipity. Para el nodo \(\alpha\), sean sus valores de coordenadas naturales \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Para los nodos de esquina (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), con cada componente igual a \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Para los nodos intermedios de arista (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), con una de las tres coordenadas naturales igual a \(0\) y las otras dos iguales a \(\pm 1\)), los nodos con \(\xi_\alpha = 0\) (aristas orientadas en la dirección del eje \(\xi\)) tienen

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Los nodos intermedios cuyas aristas están orientadas en los ejes \(\eta\) o \(\zeta\) se expresan de forma análoga, eliminando mediante el término cuadrático la coordenada natural correspondiente.

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