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Integración numérica

Los vectores de fuerzas internas del elemento \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) y la matriz de rigidez del elemento \(\boldsymbol{K}^e\) obtenidos en Discretización del trabajo virtual interno y Trabajo virtual externo y ensamblaje de la ecuación global se expresan como integrales sobre el dominio del elemento \(\Omega^e\) o \(\Omega^e_0\). FrontISTR las evalúa numéricamente mediante cuadratura de Gauss.

Cuadratura de Gauss y cambio de variables

La cuadratura de Gauss aproxima una integral sobre el dominio de referencia \(\Xi\) mediante una combinación lineal de los valores del integrando en los puntos de integración \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) y los pesos \(w_i\). Su aplicación al dominio del elemento \(\Omega^e\) implica un cambio de variables mediante el mapeo \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), de modo que

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

donde \(n_q\) es el número de puntos de integración y \(J_{\xi_i}\) es el determinante del jacobiano de la transformación. El dominio de referencia \(\Xi\) se define para cada tipo de elemento (para un hexaedro, \([-1,1]^3\); para triángulos, tetraedros y prismas, las formas de referencia correspondientes), y los puntos de integración \(\boldsymbol{\xi}_i\) y los pesos \(w_i\) se proporcionan como tablas numéricas. Las integrales de superficie se tratan de la misma forma mapeando una cara del elemento desde un dominio de referencia bidimensional.

A continuación se muestran números representativos de puntos de integración utilizados por FrontISTR (para la correspondencia con los tipos de elemento, consulte Esquema de numeración de elementos y biblioteca de funciones de forma).

Tipo de elemento Regla de integración Número de puntos de integración
Tetraedro de 4 nodos (tet4n) Regla de 1 punto 1
Tetraedro de 10 nodos (tet10n) Regla de 4 puntos 4
Prisma triangular de 6 nodos (prism6n) Regla de 2 puntos 2
Prisma triangular de 15 nodos (prism15n) Regla de 9 puntos 9
Hexaedro de 8 nodos (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Hexaedro de 20 nodos (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Cuadrilátero de 4 nodos (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Cuadrilátero de 8 nodos (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Triángulo de 3 nodos (tri3n) Regla de 1 punto 1
Triángulo de 6 nodos (tri6n) Regla de 3 puntos 3

Para elementos hexaédricos, cuadriláteros y lineales se utilizan productos tensoriales de la regla de Gauss-Legendre en cada dirección de coordenadas. Los triángulos, tetraedros y prismas triangulares utilizan reglas específicas adecuadas para geometrías de tipo símplex (disposiciones de puntos que integran exactamente polinomios sobre el propio triángulo).

Aplicación a la integración de elementos

En la integración de elementos, las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r}\) se utilizan como coordenadas del dominio de referencia (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), y el mapeo a coordenadas físicas se obtiene mediante interpolación de las coordenadas nodales con las funciones de forma. Según la elección de la configuración de referencia (Marco del análisis incremental), se emplean las siguientes formulaciones.

Método de Lagrange total (integración sobre la configuración de referencia \(\Omega^e_0\)): el mapeo y el jacobiano son

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

y el vector de fuerzas internas y la matriz de rigidez del elemento se aproximan como

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Todos \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) se evalúan en los puntos de integración \(\boldsymbol{r}_i\).

Método de Lagrange actualizado (integración sobre la configuración actual \(\Omega^e\)): el mapeo y el jacobiano son

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

y

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

se utilizan como aproximaciones.

La única diferencia entre ambas formulaciones es si las coordenadas nodales suministradas al mapeo son \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) o \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); los puntos de integración, los pesos y la estructura del bucle sobre los puntos de integración son comunes.

Integración completa e integración reducida

La integración que utiliza un número de puntos suficiente para integrar exactamente el grado polinómico del integrando se denomina integración completa, mientras que la que utiliza un nivel menos de puntos de integración se denomina integración reducida. La integración reducida se utiliza para aliviar el bloqueo por cortante y volumétrico, pero requiere tratamiento de modos de deformación espurios, como los modos de reloj de arena. El número de puntos de integración de cada tipo de elemento y la elección entre integración completa y reducida se tratan en Esquema de numeración de elementos y biblioteca de funciones de forma y secciones posteriores, así como en Formulaciones avanzadas de elementos.

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