物理量符号列表
本页列出 FrontISTR 理论手册中使用的物理量符号。
有关记号规则（向量、张量的粗体表示、Einstein 求和约定、Voigt 表示），请参阅
张量记号与数学基础。
构形与坐标系
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{X}\) |
材料点在参考构形（初始构形）中的位置向量（材料坐标） |
| \(\boldsymbol{x}\) |
材料点在当前构形中的位置向量（空间坐标） |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
运动映射：\(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) |
物体在参考构形中占据的区域 |
| \(\Omega\) |
物体在当前构形中占据的区域 |
| \(\Gamma_0\) |
\(\Omega_0\) 的边界 |
| \(\Gamma\) |
\(\Omega\) 的边界 |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) |
几何（位移）边界：在当前构形、参考构形中规定 \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) 的边界 |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) |
力学边界：在当前构形、参考构形中规定 \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)（或 \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)）的边界 |
| \(\boldsymbol{n}\) |
当前构形中表面的外法向单位向量 |
| \(\boldsymbol{N}\) |
参考构形中表面的外法向单位向量 |
| \(t\) |
时间 |
约定：参考构形中的物理量使用大写字母或下标 \(0\)，当前构形中的物理量使用小写字母。
时间与增量（增量分析）
| 符号 |
说明 |
| \(\Delta t\) |
时间增量：\(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) |
时间 \(t\) 时的物理量（左上标）。例如：\(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) 表示时间 \(t\) 时的 Cauchy 应力 |
| \(^{t}\Omega\) |
时间 \(t\) 时当前构形的区域 |
| \(^{t}\Gamma\) |
时间 \(t\) 时当前构形的边界 |
约定：在增量分析中，将截至时间 \(t\) 的状态视为已知，求解时间 \(t + \Delta t\) 时的未知状态。无需明确表示时间时省略左上标。以参考构形 \(\Omega_0\) 作为参考的公式称为总拉格朗日法，以增量开始时的当前构形 \(^{t}\Omega\) 作为参考的公式称为更新拉格朗日法。
位移、速度、加速度与体力
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{u}\) |
位移向量：\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) |
几何边界 \(\Gamma_B\) 上规定的位移 |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) |
虚位移（测试函数）：在 \(\Gamma_B\) 上 \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) |
速度向量：\(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) |
加速度向量：\(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) |
体力（单位质量） |
| \(\boldsymbol{t}\) |
表面力向量（单位面积）：\(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) |
力学边界 \(\Gamma_t\) 上规定的表面力（Neumann 数据） |
微分算子
| 符号 |
说明 |
| \(\dot{(\cdot)}\) |
材料时间导数（跟随同一材料点的时间导数）：\(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) |
参考构形梯度（关于材料坐标 \(\boldsymbol{X}\) 的梯度）：\(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) |
当前构形梯度（关于空间坐标 \(\boldsymbol{x}\) 的梯度）：\(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) |
对称梯度算子：\(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
备注：\(\nabla_X\) 与 \(\nabla_x\) 满足 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)。无下标的 \(\nabla\) 用于可由上下文判断构形，或像小变形情况那样二者区别消失时。
变形张量
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{F}\) |
变形梯度张量：\(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) |
体积变化比：\(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) |
右 Cauchy-Green 变形张量：\(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) |
左 Cauchy-Green 变形张量：\(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) |
速度梯度张量：\(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) |
变形速率张量（\(\boldsymbol{L}\) 的对称部分）：\(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) |
自旋张量（\(\boldsymbol{L}\) 的反对称部分）：\(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
应变张量
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{E}\) |
Green-Lagrange 应变张量（参考构形）：\(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) |
Almansi 应变张量（当前构形）：\(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) |
Almansi 应变张量的线性部分（当前构形中的对称位移梯度）：\(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) |
小应变张量（线性近似）：\(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
备注：\(\boldsymbol{E}\) 主要用于总拉格朗日法，\(\boldsymbol{D}\) 主要用于更新拉格朗日法。
应力张量
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) |
Cauchy 应力张量（真实应力，当前构形）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) |
第一 Piola-Kirchhoff 应力张量（名义应力）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) |
第二 Piola-Kirchhoff 应力张量（参考构形，对称）：\(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
各应力张量之间的转换关系：
\[
\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T
\]
约定：总拉格朗日法使用 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) 这一对量，更新拉格朗日法使用 \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) 这一对量。
密度与质量
| 符号 |
说明 |
| \(\rho\) |
当前构形中的质量密度 |
| \(\rho_0\) |
参考构形中的质量密度 |
质量守恒定律：\(\rho_0 = J\rho\)。
材料常数（线性弹性体）
| 符号 |
说明 |
| \(E\) |
杨氏模量（纵向弹性模量） |
| \(\nu\) |
泊松比 |
| \(\lambda\) |
第一 Lamé 常数：\(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) |
第二 Lamé 常数（剪切模量）：\(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) |
弹性张量（四阶）：\(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)，分量 \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（或 \(\hat{\tilde{C}}\)） |
材料矩阵（Voigt 表示，三维时为 \(6\times6\)）：\(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
各向同性线性弹性体的弹性张量分量：
\[
C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\]
超弹性材料
| 符号 |
说明 |
| \(W(\boldsymbol{C})\) |
弹性势函数（应变能密度函数） |
| \(I_1, I_2, I_3\) |
右 Cauchy-Green 张量 \(\boldsymbol{C}\) 的主不变量 |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) |
\(\boldsymbol{C}\) 的约化不变量（分离体积变化部分） |
| \(C_1, C_2\) |
Mooney-Rivlin 模型的材料常数 |
| \(D\) |
与体积弹性有关的材料常数 |
弹塑性材料
| 符号 |
说明 |
| \(\boldsymbol{D}^e\) |
变形速率张量的弹性分量 |
| \(\boldsymbol{D}^p\) |
变形速率张量的塑性分量 |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) |
屈服函数 |
| \(\kappa\) |
表示塑性状态的内部变量（各向同性硬化变量） |
| \(\lambda^p\) |
塑性乘子（塑性应变率乘子）：\(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) |
塑性势（相关联流动法则中 \(\Theta = F\)） |
| \(\bar{\sigma}\) |
等效应力（如 von Mises 应力） |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) |
等效塑性应变 |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) |
各向同性硬化函数 |
互补条件：\(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)，\(\lambda^p \geq 0\)，\(F \leq 0\)。
有限元法
| 符号 |
说明 |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) |
通过有限元离散近似得到的当前构形、参考构形区域：\(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) |
单元在当前构形、参考构形中的区域 |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) |
单元边界中属于力学边界的部分 |
| \(\boldsymbol{r}\) |
自然坐标（单元局部坐标） |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) |
对应节点 \(\alpha\) 的自然坐标点 |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) |
对应单元 \(e\) 中节点 \(\alpha\) 的形函数 |
| \(n_e\) |
单元的构成节点数 |
| \(n_g\) |
全局节点总数 |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) |
单元节点 \(\alpha\) 的坐标和位移 |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) |
单元节点坐标、位移向量：\(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) 等 |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) |
全局节点坐标、位移向量（按节点编号 → 自由度的顺序排列） |
| \(\boldsymbol{B}\) |
应变-位移关系矩阵（B 矩阵） |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) |
形函数矩阵：\(\boldsymbol{N}_\alpha\) 是将节点 \(\alpha\) 的形函数 \(N_\alpha^e\) 排列在对角线上的 \(d \times d\) 块，\(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)。\(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) |
单元刚度矩阵 |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) |
单元刚度矩阵的被积项（分别以参考构形、当前构形表示）：\(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL 法），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL 法） |
单元内力向量 |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) |
作用于单元节点 \(\alpha\) 的节点外力，以及单元节点外力向量：\(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) |
全局内力向量、全局外力向量：\(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)，\(\boldsymbol{F}\) 同理 |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) |
全局节点 \(i_g\) 处的节点内力、节点外力（\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) 的节点块） |
| \(\boldsymbol{K}\) |
全局切线刚度矩阵：\(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)。将 \(3\times 3\) 块 \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) 排列在第 \(i_g\) 行、第 \(i_h\) 列形成的矩阵 |
| \(\boldsymbol{R}_i\) |
Newton-Raphson 迭代中的残差向量：\(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) |
Newton-Raphson 迭代中的修正量（在第 \(i\) 次迭代中求解线性方程 \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) 得到） |
| \(i_g\) |
全局节点编号（\(1 \leq i_g \leq n_g\)） |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) |
对应单元 \(e\) 的局部节点编号 \(\alpha\) 的全局节点编号：\(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) |
对应全局节点编号 \(i_g\) 的 \((e, \alpha)\) 对的集合：\(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)。用于组装操作 |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) |
对应全局节点编号对 \((i_g, i_h)\) 的 \((e, \alpha, \beta)\) 三元组集合：用于刚度矩阵组装 |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) |
与单元构成节点有关的下标 |
| \(i, j, k, l, \ldots\) |
与自由度有关的下标（三维中为 \(1, 2, 3\)） |
高性能单元与结构单元
| 符号 |
说明 |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) |
B-bar 法中已修正体积部分的应变-位移关系矩阵（用在单元中心求值的 B 矩阵替换体积分量） |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) |
F-bar 法中已修正体积部分的变形梯度：\(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) |
在单元中心 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) 求值的变形梯度体积比：\(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) |
非协调模态单元中的内部自由度向量（不保证单元边界连续性的附加位移模态系数） |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) |
非协调模态的形函数：\(M_1=1-\xi^2\)，\(M_2=1-\eta^2\)，\(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) |
壳单元厚度 |
| \(A\) |
梁单元截面的截面积 |
| \(I\) |
梁单元截面的截面二次矩 |
| \(G\) |
剪切模量：\(G = E/[2(1+\nu)]\) |
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