弹塑性¶

本章介绍 FrontISTR 所采用的弹塑性本构关系框架。关于选择方法和输入指定的详细信息，请参见功能篇 03_material。

现象（塑性变形）¶

TBD（将在下一阶段补充正文）。

本构关系框架¶

FrontISTR 采用基于相关流动法则的弹塑性本构方程。此外，该本构方程表示 Kirchhoff 应力的 Jaumann 率与变形速率张量之间的关系，其变形分析采用 updated Lagrange 法。

假设弹塑性体的屈服条件如下给出。

初始屈服条件：

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

后续屈服条件：

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

其中，

\(F\): 屈服函数
\(\sigma_{y_0}\): 初始屈服应力
\(\sigma_y\): 后续屈服应力
\(\sigma\): 应力张量
\(e\): 微小应变张量
\(e^p\): 塑性应变张量
\(\overline{e}^p\): 等效塑性应变

假设屈服应力-等效塑性应变关系与单轴状态下的应力-塑性应变关系一致。

单轴状态下的应力-塑性应变关系

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

其中，\(H'\) 为应变硬化模量。

等效应力-等效塑性应变关系

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

一般而言，后续屈服函数是温度和塑性应变功的函数，但为简化起见，这里假定它仅为等效塑性应变 \(\overline{e}^p\) 的函数。在塑性变形进行过程中，必须持续满足 \(F = 0\)，因此下式必须成立。

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

这里，\(\dot{F}\) 表示 \(F\) 的时间导数。以下，对于任意量 \(A\)，其时间导数表示为 \(\dot{A}\)。

这里，假设存在塑性势 \(\Theta\)，并将塑性应变率表示为下式。

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

其中，\(\dot{\lambda}\) 为系数。

进一步假设塑性势 \(\Theta\) 等于屈服函数 \(F\)，采用下式所示的相关流动法则。

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

将该式代入一致性条件式，可得下式。

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

其中，\(D\) 为弹性矩阵，且

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

弹塑性材料的应力-应变关系可写为下式。

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

一旦已知弹塑性材料的屈服函数 \(F\)，即可由该式得到其本构方程。

屈服函数¶

下面列出 FrontISTR 所采用的弹塑性屈服函数。

Von Mises 屈服函数¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

其中，\(J_2\) 为偏应力张量的第二不变量。

Mohr-Coulomb 屈服函数¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

其中，\(\sigma_1, \sigma_3\) 分别为最大、最小主应力，\(c\) 为黏聚力，\(\phi\) 为内摩擦角。

Drucker-Prager 屈服函数¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

这里，材料常数 \(\alpha\) 和 \(\sigma_y\) 根据材料的黏聚力和摩擦角按下式计算。

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]