动力分析方法
本节说明采用直接时间积分法的动力问题分析方法。下面给出隐式方法和显式方法的公式。
运动方程的离散化（通用框架）
TBD（将在下一阶段补充正文）。
隐式方法（Newmark-β 法）
针对动力问题，对下式所示运动方程的求解采用直接时间积分法。
\[\begin{equation}
M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t )
\label{eq:2.5.1}
\end{equation}\]
这里，\(M\) 为质量矩阵，\(C\) 为阻尼矩阵，\(Q\) 为内力向量，\(F\) 为外力向量。
另外，即使在非线性分析中，也假定质量矩阵不随变形变化而保持恒定。
时间增量 \(\Delta t\) 内位移、速度和加速度的变化，使用 Newmark-\(\beta\) 法按照式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 和式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 所示进行近似。
\[\begin{equation}
\dot{U}(t + \Delta t) =
\frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t)
\label{eq:2.5.3}
\end{equation}\]
这里，\(\gamma\) 、\(\beta\) 为 Newmark-\(\beta\) 法的参数。
众所周知，当 \(\gamma\) 和 \(\beta\) 取以下值时，分别对应线性加速度法和梯形法则。
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\) ，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) （线性加速度法）
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\) ，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) （梯形法则）
将式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 、式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 代入式 \(\eqref{eq:2.5.1}\) ，得到下式。
\[\begin{align}
\nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t )
- Q ( t + \Delta t ) \\\
\nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t )
+ \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\
&+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t)
+ \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.4}
\end{align}\]
特别地，对于线性问题，\(K_L\) 为线性刚度矩阵，且 \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) 。将该关系代入上式，得到下式。
\[\begin{align}
\nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace
&+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\
& + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t})
\label{eq:2.5.5}
\end{align}\]
另外，在作为几何边界条件指定加速度的位置，可由式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 得到下式位移。
\[\begin{equation}
u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t)
\label{eq:2.5.6}
\end{equation}\]
同样，在指定速度的位置，可由式 \(\eqref{eq:2.5.6}\) 得到下式位移。
\[\begin{equation}
u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t
\frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t)
+(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma}
\ddot{u_{is}}(t)
+\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})
\label{eq:2.5.7}
\end{equation}\]
这里，
\(u_{is}(t+\Delta{t})\) 为时刻 \(t+\Delta{t}\) 的节点位移，\(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) 为时刻 \(t+\Delta{t}\) 的节点速度，
\(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) 为时刻 \(t+\Delta{t}\) 的节点加速度，\(i\) 为节点自由度编号，\(s\) 为节点编号。
此外，质量项和阻尼项的处理如下。
质量项的处理
原则上，质量矩阵按集中质量矩阵处理。
阻尼项的处理
阻尼项按式 \(\eqref{eq:2.5.8}\) 所表示的 Rayleigh 阻尼处理。
\[\begin{equation}
C = R_m M + R_k K_L
\label{eq:2.5.8}
\end{equation}\]
这里，\(R_m\) 、\(R_k\) 为 Rayleigh 阻尼参数。
显式方法（中心差分法）
显式方法以下式所示时刻 t 的运动方程为基础。
\[\begin{equation}
M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t)
\label{eq:2.5.9}
\end{equation}\]
这里，将时刻 \(t + \Delta t\) 和时刻 \(t - \Delta t\) 的位移在时刻 \(t\) 处作 Taylor 展开，并保留关于 \(\Delta t\) 的二阶项，得到如下结果。
\[\begin{equation}
U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t})
+\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2
\label{eq:2.5.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t})
+\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2
\label{eq:2.5.11}
\end{equation}\]
由式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 、式 \(\eqref{eq:2.5.4}\) 的差与和，可得到下式。
\[\begin{equation}
\dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}}
(U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t}))
\label{eq:2.5.12}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\ddot{U}=
\frac{1}{(2\Delta{t})^2}
(U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t}))
\label{eq:2.5.13}
\end{equation}\]
将式 \(\eqref{eq:2.5.12}\) 、式 \(\eqref{eq:2.5.13}\) 代入式 \(\eqref{eq:2.5.9}\) ，得到下式。
\[\begin{equation}
\left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\
= F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t)
\label{eq:2.5.14}
\end{equation}\]
特别地，对于线性问题，有 \(Q(t) = K_L U(t)\) ，因此上式变为
\[\begin{equation}
\left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\
= F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t)
\label{eq:2.5.15}
\end{equation}\]
这里，若将质量矩阵 \(M\) 取为集中质量矩阵，并将阻尼矩阵取为比例阻尼矩阵 \(C = R_m M\) ，则式 \(\eqref{eq:2.5.15}\) 无需进行联立方程求解操作。
因此，可由式 \(\eqref{eq:2.5.15}\) 按下式求得 \(U(t+\Delta t)\) 。
\[\begin{equation}
U( t + \Delta t ) \\\
= \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \}
\label{eq:2.5.17}
\end{equation}\]
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