На этой странице приведены обозначения физических величин, используемых в теоретическом руководстве FrontISTR.
Правила обозначений (полужирное начертание векторов и тензоров, соглашение Эйнштейна о суммировании, запись Фойгта) см. в разделе
Тензорные обозначения и математические основы.
Геометрическая (по перемещениям) граница: граница в текущей/исходной конфигурации, на которой задано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)
Силовая граница: граница в текущей/исходной конфигурации, на которой задано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\)
Внешний единичный вектор нормали к поверхности в текущей конфигурации
\(\boldsymbol{N}\)
Внешний единичный вектор нормали к поверхности в исходной конфигурации
\(t\)
Время
Соглашение: физические величины в исходной конфигурации обозначаются прописными буквами или индексом \(0\), а величины в текущей конфигурации — строчными буквами.
Физическая величина в момент времени \(t\) (левый верхний индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — напряжение Коши в момент времени \(t\)
\(^{t}\Omega\)
Область текущей конфигурации в момент времени \(t\)
\(^{t}\Gamma\)
Граница текущей конфигурации в момент времени \(t\)
Соглашение: в инкрементном анализе состояние до момента времени \(t\) считается известным, а состояние в момент \(t + \Delta t\) определяется как неизвестное. Левый верхний индекс опускается, если время не требуется указывать явно. Формулировка, использующая исходную конфигурацию \(\Omega_0\) в качестве опорной, называется методом Total Lagrange, а формулировка, использующая текущую конфигурацию \(^{t}\Omega\) в начале приращения в качестве опорной, — методом Updated Lagrange.
Примечание: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) связаны соотношением \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градиент без индекса, \(\nabla\), используется, когда конфигурация понятна из контекста или когда различие исчезает, например при малых деформациях.
Соглашение: в формулировке Total Lagrange используется пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а в формулировке Updated Lagrange — пара \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Векторы координат и перемещений узлов элемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и т. п.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)
Глобальные векторы координат и перемещений узлов (упорядочены сначала по номеру узла, затем по степени свободы)
\(\boldsymbol{B}\)
Матрица связи деформаций и перемещений (B-матрица)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)
Матрица функций формы: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) для узла \(\alpha\) представляет собой блок, в котором функция формы \(N_\alpha^e\) расположена по диагонали блока \(d \times d\), а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)
Матрица жёсткости элемента
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)
Подынтегральные выражения матрицы жёсткости элемента (в исходной и текущей конфигурациях): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
Узловая внешняя сила, действующая на узел \(\alpha\) элемента, и вектор узловых внешних сил элемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)
Глобальные векторы внутренних и внешних сил: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогично для \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)
Узловая внутренняя и внешняя сила в глобальном узле \(i_g\) (узловые блоки \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\)
Глобальная касательная матрица жёсткости: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица, в которой блок \(3\times 3\)\(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) расположен в строке \(i_g\), столбце \(i_h\)
Поправка на итерации Newton-Raphson (на итерации \(i\) получается решением линейного уравнения \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\))
\(i_g\)
Номер глобального узла (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)
Номер глобального узла: для элемента \(e\) он соответствует локальному номеру узла \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)
Множество пар, соответствующих номеру глобального узла \(i_g\): \((e, \alpha)\), то есть \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Используется при сборке
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)
Для пары номеров глобальных узлов \((i_g, i_h)\) — множество троек \((e, \alpha, \beta)\); используется при сборке матрицы жёсткости
Матрица связи деформаций и перемещений с модифицированной объёмной частью по методу B-bar (объёмная компонента заменяется B-матрицей, вычисленной в центре элемента)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)
Градиент деформации с модифицированной объёмной частью по методу F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)
Коэффициент изменения объёма градиента деформации, вычисленного в центре элемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)
Вектор внутренних степеней свободы для элемента с несовместимыми модами (коэффициенты дополнительных мод перемещений, для которых непрерывность на границе элемента не обеспечивается)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)
Функции формы несовместимых мод: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)
Толщина оболочечного элемента
\(A\)
Площадь поперечного сечения балочного элемента
\(I\)
Второй момент площади поперечного сечения балочного элемента