Geometrik chegaraviy shartlarni qayta ishlash¶

Newton-Raphson usuli har bir iteratsiyada \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) chiziqli tenglamani yechadi, biroq geometrik chegaraviy shartlar (siljish cheklovlari) bu tenglamaga hali kiritilmagan. Ushbu bobda \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) siljish cheklovi qo‘yilgan erkinlik darajalari uchun qattiqlik matritsasi \(\boldsymbol{K}\) va qoldiq vektori \(\boldsymbol{R}\) qanday o‘zgartirilib, iteratsiyadan keyingi siljish berilgan qiymatga yetkazilishi ko‘rsatiladi. Ko‘p nuqtali cheklovlar (MPC) va kontaktga oid nochiziqli cheklovlar alohida ishlanadi; Ko‘p nuqtali cheklovlar va Kontakt ga qarang.

Siljish cheklovini noma’lum o‘zgaruvchi sifatida saqlash siyosati¶

Geometrik chegaraviy shart qo‘yilgan tugunning siljishi endi erkin noma’lum emas, balki berilgan \(\bar{u}_i\) qiymatga mahkamlangan. Bunday DOF ni konstanta sifatida ko‘rib \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) dan chiqarib tashlash mumkin, ammo FrontISTR cheklangan DOF ni boshqa DOF lar kabi \(d\boldsymbol{u}\) tuzatish vektori ichida qoldirib, \(\boldsymbol{K}\) va \(\boldsymbol{R}\) ni o‘zgartirish orqali cheklovni bajaradi.

Bu usulda koeffitsiyent matritsasining o‘lchami va DOF tartibi cheklov bor-yo‘qligiga qarab o‘zgarmaydi; o‘zgaruvchilarni chiqarib, bo‘shagan satr va ustunlarni qayta joylashtirish talab qilinmaydi. Sparse matritsa saqlashida bunday qayta joylashtirish noqulay bo‘lgani uchun FrontISTR faqat koeffitsiyent matritsa va o‘ng tomonni yangilash usulidan foydalanadi.

Newton-Raphson tuzatishining maqsad qiymati¶

Siljishi cheklangan \(i\) DOF uchun Newton-Raphson iteratsiyasida olinadigan \(du_i\) tuzatish

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1st iteration}) \\ 0 & (\text{2nd and subsequent iterations}) \end{cases} \]

bo‘lishi uchun \(\boldsymbol{K}\) va \(\boldsymbol{R}\) o‘zgartiriladi. Natijada birinchi iteratsiyada siljish inkrementi berilgan \(\bar{u}_i\) qiymatga yetadi; ikkinchi va keyingi iteratsiyalarda tuzatish \(0\) bo‘lib, berilgan qiymat saqlanadi.

Matritsa va qoldiq vektorini o‘zgartirish tartibi¶

Oldingi bo‘limdagi maqsad qiymat \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) shaklini saqlagan holda ikki o‘zgartirish bilan amalga oshiriladi.

\(i\) satrni diagonallashtirish: \(du_i\) koeffitsiyenti bo‘lgan \(K_{ii}\) ni \(1\) ga, qolgan \(K_{ij}\ (j \not= i)\) larni \(0\) ga almashtiring va o‘ng tomonni \(R_i \to d\bar{u}_i\) qiling. Shunda \(i\) satr tenglamasi \(du_i = d\bar{u}_i\) bo‘ladi.
\(j(\not= i)\) satrlardan o‘ng tomonga ko‘chirish: har bir \(j(\not= i)\) satr uchun \(K_{ji} \not= 0\) bo‘lsa, \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) hadini o‘ng tomonga ko‘chiring. Ya’ni o‘ng tomondan \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ni ayirib, \(du_i\) koeffitsiyenti \(K_{ji}\) ni \(0\) ga qo‘ying.

Komponentlarda o‘zgartirishdan oldingi va keyingi tenglamalar quyidagicha mos keladi.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

O‘zgartirilgan koeffitsiyent matritsa va o‘ng tomon mos ravishda \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) deb belgilansa, yechiladigan chiziqli tenglama

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

bo‘ladi. Bir nechta cheklangan DOF bo‘lsa, yuqoridagi 1 va 2 amallar har bir \(i\) DOF uchun ketma-ket bajariladi.

Sparse matritsa implementatsiyasidagi ishlov sohasi¶

Implementatsiyada \(\boldsymbol{K}\) koeffitsiyent matritsa sparse formatda saqlanadi. Shuning uchun oldingi bo‘limning 2-amalidagi \(j(\not= i)\) satrlarni qayta ishlash faqat \(i\) ustunda noldan farqli komponenti bor satrlarga, ya’ni elementlar orqali cheklangan \(i\) DOF bilan bog‘langan tugunlarning erkinlik darajalariga qo‘llanadi. Bog‘lanmagan DOF lar uchun \(K_{ji} = 0\), shuning uchun hadni ko‘chirish o‘ng tomonni o‘zgartirmaydi. Bu cheklash constraint processing ni jami tugunlar soniga nisbatan faqat lokal amallar bilan bajarish imkonini beradi.

Bog‘liq bo‘limlar¶

Tashqi kuch virtual ishi va global tenglamani yig‘ish — o‘zgartirishdan oldingi \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\) ni tuzish
Newton-Raphson usuli — \(d\boldsymbol{u}\) tuzatishni olish iteratsiyasi bilan bog‘lanish
Yaqinlashish mezonlari — cheklov ishlovidan keyingi \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) qoldiq normasini baholash