Modal tahlil - FrontISTR Multilingual Documentation

Umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi¶

Kontinuumning erkin tebranish tahlilida fazoviy diskretlashtirish bajarilib, 2.3.1-rasmda ko‘rsatilganidek jamlangan massalardan iborat ko‘p erkinlik darajali sistema bilan modellashtiriladi. So‘nishsiz erkin tebranish masalasi uchun boshqaruvchi tenglama (harakat tenglamasi) quyidagicha.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Bu yerda, $u$ — umumlashtirilgan siljish vektori, $M$ — massa matritsasi, $K$ esa qattiqlik matritsasi. Xos burchak chastotani $\omega$, $a$, $b$, $c$ ni ixtiyoriy konstantalar, $x$ ni vektor deb olib, quyidagi funksiyani aniqlaymiz:

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Ushbu ifodaning ikkinchi hosilasi, ya’ni

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ni $\eqref{eq:2.3.1}$ tenglamaga qo‘ysak,

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

hosil bo‘ladi. Ya’ni,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ni olamiz.

Demak, $\eqref{eq:2.3.5}$ tenglamani qanoatlantiruvchi $\lambda = \omega^2$ koeffitsiyent va $x$ vektor topilsa, $u(t)$ funksiyasi $\eqref{eq:2.3.1}$ tenglamaning yechimi bo‘ladi.

$\lambda$ koeffitsiyent xos qiymat, $x$ vektor esa xos vektor deb ataladi; ularni $\eqref{eq:2.3.1}$ tenglamadan aniqlash masalasi umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi deb ataladi.

So‘nishsiz erkin tebranishdagi ko‘p erkinlik darajali sistema misoli

2.3.1-rasm　So‘nishsiz erkin tebranishdagi ko‘p erkinlik darajali sistema misoli

Matritsa xossalari va farazlar¶

Oldingi bo‘limda olingan $K x = \lambda M x$ umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi uchun ushbu qo‘llanmada quyidagi matritsa xossalari faraz qilinadi. Bu farazlar keyingi siljitilgan teskari iteratsiya va Lanczos usullarining yaqinlashishi hamda qo‘llanish doirasi uchun asos bo‘ladi. Ya’ni kompleks matritsada transponirlangan matritsa kompleks qo‘shma bilan bog‘liq, haqiqiy matritsa esa simmetrikdir. $K$ matritsasining $ij$-komponentini $k_{ij}$, $k$ ning kompleks qo‘shmasini $\bar{k}$ deb belgilasak,

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

quyidagi munosabat bajariladi.

Ushbu qo‘llanmada matritsalar simmetrik va musbat aniqlangan deb faraz qilinadi. Musbat aniqlangan degani barcha xos qiymatlar musbat bo‘lishi, boshqacha aytganda quyidagi $\eqref{eq:2.3.7}$ tenglama doimo bajarilishini anglatadi.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Siljitilgan teskari iteratsiya usuli¶

Chekli elementlar usulidagi konstruktiv tahlilda amalda barcha xos qiymatlar zarur emas; ko‘pincha bir nechta quyi tartibli xos qiymat yetarli bo‘ladi. HEC-MW katta ko‘lamli masalalarni ko‘zda tutadi, shuning uchun matritsalar katta o‘lchamli va juda siyrak (nol elementlari ko‘p) bo‘ladi. Shu sababli bu xususiyatni hisobga olib, quyi tartibli modalarning xos qiymatlarini samarali hisoblash muhim.

Xos qiymatlarning quyi chegarasini $\sigma$ deb olsak, $\eqref{eq:2.3.5}$ tenglamani quyidagi matematik jihatdan ekvivalent ko‘rinishga o‘zgartirish mumkin.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu o‘zgartirish hisoblashda quyidagi qulay xossalarga ega.

Modalar tartibi teskarilanadi.
$\rho$ atrofidagi xos qiymatlar eng katta qiymatlarga akslanadi.

Amaliy hisobda ko‘pincha eng katta xos qiymat birinchi bo‘lib topiladi. Shu sababli asosiy yaqinlashish hisobi $\eqref{eq:2.3.5}$ o‘rniga $\eqref{eq:2.3.8}$ tenglamaga qo‘llanib, $\rho$ atrofidagi xos qiymatlarni avval topish maqsad qilinadi. Bu usul siljitilgan teskari iteratsiya deb ataladi.

Lanczos usuli¶

Qo‘llash sababi (Jacobi usuli bilan taqqoslash)¶

Klassik usullardan Jacobi usuli yaxshi ma’lum.

Bu usul matritsa o‘lchami kichik va matritsa zich bo‘lganda samarali. Biroq HEC-MW da ishlatiladigan matritsalar katta va siyrak bo‘lgani sababli Jacobi usuli qo‘llanmaydi; uning o‘rniga iterativ Lanczos usuli ishlatiladi.

Algoritm va xususiyatlar¶

1950-yillarda C. Lanczos tomonidan taklif qilingan bu usul matritsani uch diagonalli ko‘rinishga keltirish algoritmi bo‘lib, quyidagi xususiyatlarga ega.

U iterativ yaqinlashuvchi usul bo‘lib, matritsani siyrak holatda saqlagan holda hisoblashni davom ettirish mumkin.
Algoritm asosan matritsa–vektor ko‘paytmalaridan iborat bo‘lib, parallellashtirish uchun qulay.
Chekli elementlar meshiga mos geometrik sohani bo‘lish usuliga yaxshi mos keladi.
Olinadigan xos qiymatlar soni va modalar oralig‘ini cheklab samarali hisoblash mumkin.

Lanczos usuli boshlang‘ich vektordan boshlab ketma-ket ortogonal vektorlar hosil qiladi va qism fazo bazisini tuzadi. Bu usul boshqa iterativ usul bo‘lgan qism fazo usulidan tezroq deb hisoblanadi va chekli elementlar dasturlarida keng qo‘llanadi. Biroq bu usul mashina xatolariga sezgir: vektorlarning ortogonalligi buzilishi va hisoblashning yo‘lda barbod bo‘lishi mumkin. Shu sababli sonli xatolarga qarshi choralar zarur.

Geometrik ma’no (Krylov qism fazosi)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ tenglamaga quyidagi o‘zgaruvchilar almashtirishini kiritsak,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalani qayta yozib,

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ni olamiz.

Mos $q_0$ vektoriga $A$ matritsa orqali chiziqli o‘zgartirishni qo‘llaymiz (2.3.2-rasmga qarang).

$$A$ matritsa orqali $q_0$ ning chiziqli o‘zgartirilishi$

2.3.2-rasm　$A$ matritsa orqali $q_0$ ning chiziqli o‘zgartirilishi

O‘zgartirilgan vektor dastlabki vektor bilan hosil qilgan fazoda ortogonallashtiriladi. Ya’ni 2.3.2-rasmda ko‘rsatilgan Gram-Schmidt ortogonallashtirishi bajariladi. Hosil bo‘lgan vektorni $r_1$ deb olib, uni birlik uzunlikka normallashtirib $q_1$ olinadi (2.3.3-rasm). Xuddi shu algoritm bilan $q_1$ dan $q_2$ olinadi. Bu vaqtda $q_2$ ham $q_1$, ham $q_0$ ga ortogonal (2.3.4-rasm). Shu hisob davom ettirilsa, matritsa tartibigacha o‘zaro ortogonal vektorlar olinadi.

$$q_0$ ga ortogonal $q_1$ vektor$

2.3.3-rasm　 $q_0$ ga ortogonal $q_1$ vektor

$$q_1$ va $q_0$ ga ortogonal $q_2$ vektor$

2.3.4-rasm　 $q_1$ va $q_0$ ga ortogonal $q_2$ vektor

Xususan, Lanczos algoritmi $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$ vektorlar ketma-ketligiga,

boshqacha aytganda $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$ ketma-ketligiga

Gram-Schmidt ortogonallashtirishini qo‘llashdir. Bu vektorlar ketma-ketligi Krylov ketma-ketligi, u hosil qilgan fazo esa Krylov qism fazosi deb ataladi. Ushbu fazoda Gram-Schmidt ortogonallashtirishi bajarilganda yangi vektor eng so‘nggi ikki vektor yordamida olinadi. Bu Lanczos prinsipi deb ataladi.

Uch diagonallashtirish¶

Yuqoridagi iteratsiyada i+1-chi hisoblash

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ko‘rinishida yoziladi. Bu yerda

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

bo‘ladi. Uni matritsa ko‘rinishida yozsak,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

hosil bo‘ladi. Bu yerda

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Demak, $\eqref{eq:2.3.13}$ tenglamada olingan uch diagonalli matritsa uchun xos qiymatlar masalasini yechish orqali xos qiymatlar olinadi.

Tegishli mavzular¶

Chastotaviy javob tahlili — modal tahlil natijalaridan foydalangan chastotaviy javob
Tahlil turlari — modal tahlil funksiyasining umumiy ko‘rinishi