Tarkibga o'tish

Tensor belgilanishi va matematik asoslar

Ushbu bobda FrontISTR nazariya qo‘llanmasining keyingi boblarida ishlatiladigan tensor, indeks va Voigt belgilanishlari qoidalari jamlanadi. Bu yerda fizik miqdorlar ta’rifiga bog‘liq bo‘lmagan faqat sof belgilash qoidalari bayon qilinadi. Kontinuum harakati bilan bog‘liq konfiguratsiyaga (referens/joriy konfiguratsiya) bog‘liq belgilash qoidalari — katta-kichik harflardan foydalanish va moddiy hamda fazoviy hosilalarni farqlash — konfiguratsiya tushunchasi kiritiladigan Harakat, deformatsiya va strain bo‘limida berilgan.

Tensor belgilanishi

Vektor va tensorlarni qalin shrift bilan belgilash

Tipografik qoida sifatida skalyar miqdorlar hamda vektor va tensorlarning komponentlari oddiy shriftda (masalan, \(\rho\), \(x_i\)), vektor va tensor miqdorlarining o‘zi esa qalin shriftda (masalan, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)) yoziladi.

Einstein yig‘indi qoidasi

Alohida ko‘rsatilmagan bo‘lsa, bir xil indeks bir had ichida ikki marta uchraganda shu indeks bo‘yicha yig‘indi olinadigan Einstein yig‘indi qoidasi qo‘llanadi. Masalan,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

va \(\boldsymbol{A}\) hamda \(\boldsymbol{B}\) tensorlarining \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ko‘paytmasidagi \(i,j\) komponenti

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

bo‘ladi. Indeks qoidasi sifatida, alohida izoh bo‘lmasa, \(i, j, k, l, \ldots\) erkinlik darajalariga oid indekslarni (3D da \(1, 2, 3\)), kichik yunon harflari \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) esa elementni tashkil etuvchi tugunlarga oid indekslarni bildiradi.

Ichki ko‘paytma, transpozitsiya va tensor ko‘paytma

\(\boldsymbol{A}\) tensorining transpozitsiyasi \(\boldsymbol{A}^T\) bilan belgilanadi. Ikkinchi tartibli \(\boldsymbol{A}\) va \(\boldsymbol{B}\) tensorlarining ichki ko‘paytmasi (ikki karra qisqartirish)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

deb yoziladi. \(\boldsymbol{a}\) va \(\boldsymbol{b}\) vektorlarining ichki ko‘paytmasi \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), tensor ko‘paytmasi esa \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) dir.

Voigt belgilanishi

Kuchlanish va deformatsiya erkinlik darajalariga oid simmetrik ikkinchi tartibli tensorlar bo‘lib, ular orasidagi chiziqli munosabat koeffitsiyenti to‘rtinchi tartibli tensorni hosil qiladi. Buni dasturda bevosita ishlatish hisoblash xarajati va kodlash (ko‘p o‘lchamli massivlar, chuqur ichma-ich sikllar) nuqtai nazaridan noqulay. Shu sababli odatiy chekli element dasturlarida simmetriyadan foydalanib kuchlanish va deformatsiya ustun vektorlarga, to‘rtinchi tartibli elastiklik tensori esa ikki o‘lchamli matritsaga siqiladi. Bu Voigt belgilanishi deb ataladi.

Bundan keyin \(\boldsymbol{A}\) tensor miqdorining matritsa yoki vektor ko‘rinishi \(\hat{A}\) bilan belgilanib, asl tensordan farqlanadi.

Kuchlanish va deformatsiyaning vektor ko‘rinishi

Simmetrik kuchlanish tensori \(\boldsymbol{\sigma}\) va deformatsiya tensori \(\boldsymbol{\varepsilon}\) uchun ikki o‘lchamli holatda

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

uch o‘lchamli holatda esa

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

yuqoridagidek ustun vektor sifatida ishlatiladi. Variatsiya va differensial kabi hosila miqdorlarga ham ayni qoida qo‘llanadi. Deformatsiya tomonidagi shear komponentlariga 2 koeffitsiyenti qo‘shilishiga e’tibor bering (kuchlanish tomonida u yo‘q). Ushbu assimetriya sabab tensor ichki ko‘paytmasi vektor ichki ko‘paytmasi sifatida

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ixcham yoziladi. Amalga oshirishda shear deformatsiya komponentlaridagi 2 koeffitsiyentini chalkashtirish oson, shu sababli “kuchlanishda yo‘q / deformatsiyada bor” qoidasi doimo yodda tutilishi kerak. Referens konfiguratsiyadagi miqdorlarga (ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\)) ham aynan shu Voigt qoidasi qo‘llanadi.

To‘rtinchi tartibli tensorning matritsa ko‘rinishi

Kuchlanish va deformatsiya orasidagi \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) chiziqli munosabatida (komponentlarda \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simmetriyasidan foydalansak

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

deb qayta yozish mumkin. 3D holatda \(\tilde{C}\) ni 6×6 material matritsasi \(\hat{\tilde{C}}\) ko‘rinishida joylashtirsak, asl tensor munosabati

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ifodalanadi. Bundan keyin ushbu qo‘llanmada alohida ko‘rsatilmagan bo‘lsa material matritsasi \(D\) (yoki \(\hat{C}\)) bilan belgilanadi. Izotrop chiziqli elastiklikdagi aniq komponentlar uchun Chiziqli elastiklik ga qarang.

Differensial operatorlar qoidalari

Simmetrik gradient operatori

\(\boldsymbol{u}\) vektor maydoni uchun simmetrik gradient operatori \(\nabla_S\) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponent ko‘rinishida \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Kichik deformatsiya straini \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ushbu operator bilan ixcham ifodalanadi. Chekli deformatsiyada gradient olinadigan konfiguratsiyani (referens/joriy) tanlash Harakat, deformatsiya va strain da ko‘rib chiqiladi.

Moddiy vaqt hosilasi

\(A\) miqdorning moddiy vaqt hosilasi (bir xil moddiy nuqtani kuzatib olinadigan vaqt hosilasi) yuqori nuqta bilan \(\dot{A}\) tarzida belgilanadi:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Tezlik va tezlanish shu qoidaga amal qiladi.

Tegishli mavzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status