Inkremental tahlil doirasi¶

Inkremental tahlilning zarurligi¶

Yuqorida aytilganidek, kichik deformatsiya masalalarini tahlil qilishda muvozanat tenglamasi kabi asosiy tenglamalarga ekvivalent bo‘lgan virtual ish prinsipidan foydalanib, ushbu ifodani chekli elementlar bilan diskretlashtirish orqali chekli elementlar tahlilini bajarish mumkin. Konstruksiyaning katta deformatsiyasini ko‘rib chiqadigan chekli deformatsiya masalalarida ham asosan virtual ish prinsipi qo‘llanadi.

Biroq chekli deformatsiya masalasida, hatto materialning chiziqliligi faraz qilinganda ham virtual ish prinsipi ifodasi siljishga nisbatan nochiziqli tenglamaga aylanadi. Nochiziqli tenglamani yechishda odatda iterativ usul bilan takroriy hisoblash qo‘llanadi.

Bu iterativ hisoblash kichik yuklama inkrementlari bo‘yicha bo‘laklab bajariladi va ularni ketma-ket yig‘ish orqali yakuniy deformatsiyalangan holatga yetadigan inkremental tahlil usuli qo‘llanadi. Kichik deformatsiya masalasi faraz qilinganda, strain va stressni aniqlash uchun konfiguratsiya deformatsiyadan oldingi va keyingi holatlar orasida alohida farqlanmagan. Ya’ni kichik deformatsiya farazida asosiy tenglamalarni yozish konfiguratsiyasi deformatsiyadan oldingi yoki keyingi bo‘lishi muammo tug‘dirmaydi.

Chekli deformatsiya masalasida inkremental tahlil bajarilganda, tayanch konfiguratsiya sifatida boshlang‘ich konfiguratsiya olinadimi yoki inkrement boshlanishidagi konfiguratsiya olinadimi, formulatsiya shunga qarab farq qiladi. Birinchisi total Lagrange usuli, ikkinchisi updated Lagrange usuli deb ataladi. Tafsilotlar uchun bob oxiridagi adabiyotlarga va boshqa manbalarga qarang.

Boshlang‘ich ifoda: \(t'\) vaqtidagi virtual ish prinsipi¶

\(t\) vaqtigacha bo‘lgan holat ma’lum, \(t' = t + \Delta t\) vaqtidagi holat esa noma’lum bo‘lgan inkremental tahlilni faraz qilamiz (2.2.1-rasmga qarang). \(t'\) vaqtidagi muvozanat tenglamasi, chegara shartlari va virtual ish prinsipi (joriy konfiguratsiya ifodasi, Cauchy stressi \(^{t'}\sigma\) va Almansi deformatsiyasining chiziqli qismi \(^{t'} A_{(L)}\) bilan ifodalash) Virtual ish prinsipi da berilgan.

2.2.1-rasm　Inkremental tahlil tushunchasi

Biroq bu boshlang‘ich ifoda \(t'\) vaqtidagi (noma’lum) konfiguratsiyada yozilgani sababli, amaliy yechishda \(0\) vaqtidagi boshlang‘ich konfiguratsiya \(V\) yoki \(t\) vaqtidagi joriy konfiguratsiya \(^{t'} v\) tayanch konfiguratsiya sifatida qayta tanlanadi, inkremental shaklga o‘zgartiriladi va so‘ng yechiladi:

• Total Lagrange usuli — boshlang‘ich konfiguratsiya \(V\) ga murojaat qiladi. 2-PK stress \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) ishlatiladi.
• Updated Lagrange usuli — inkrement boshlanishidagi joriy konfiguratsiya \(^{t}v\) ga murojaat qiladi. Cauchy stressi \(\boldsymbol{\sigma}\) va Almansi deformatsiyasining chiziqli qismi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ishlatiladi.

Har ikkala usulning fazoviy diskretlashtirilishi (B matritsa va ichki kuch vektori) uchun Ichki kuch virtual ishining diskretlashtirilishi, chiziqlashtirish va tangensial qattiqlikni tuzish uchun Tangensial qattiqlik matritsasi ga qarang.

Tegishli mavzular¶

• Virtual ish prinsipi — boshlang‘ich ifodaning o‘zi (joriy va boshlang‘ich konfiguratsiyadagi kuchsiz shakl)
• Ichki kuch virtual ishining diskretlashtirilishi — TL/UL uchun B matritsa va ichki kuch vektori
• Tangensial qattiqlik matritsasi — chiziqlashtirish orqali \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton-Raphson usuli — iterativ algoritm