Yuqori samarali element formulatsiyalari¶

3D solid elementlar formulatsiyasi da berilgan standart siljishga asoslangan formulatsiya deyarli siqilmaydigan materiallarda yoki egilish ustun bo‘lgan yupqa devorli konstruksiyalarda qo‘llanganda locking (hajmiy locking yoki siljish locking) deb ataluvchi ortiqcha sun’iy qattiqlikni keltirib chiqarishi mumkin. Buni oldini olish uchun FrontISTR B matritsa yoki deformatsiya gradientining faqat hajmiy qismini almashtiruvchi B-bar va F-bar usullarini, ichki erkinlik darajalariga ega nomos elementlarni, bosimni mustaqil noma’lum maydon sifatida ko‘radigan u-p aralash elementlarni hamda plastina va beam konstruksiyalariga mo‘ljallangan MITC shell va beam elementlarni taqdim etadi.

Ushbu bob ilg‘or element va strukturaviy element formulatsiyalarini element turlari bo‘yicha umumlashtiradi.

B-bar usuli¶

8 tugunli chiziqli hexahedral element deyarli siqilmaydigan material uchun ishlatilganda, bitta element ichidagi strain maydoni hajmni saqlash cheklovi bilan ziddiyatga kirishib, hajmiy locking deb ataluvchi ortiqcha qattiqlikni yuzaga keltirishi mumkin. B-bar usuli B matritsaning hajmiy kengayishga hissa qo‘shuvchi komponentlarini element markazida baholangan qiymatlar bilan almashtirish orqali ushbu ortiqcha cheklovni yumshatadi [Hughes1980].

Element markazida \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) shakl funksiyalarining fazoviy hosilalaridan hisoblangan B matritsa \(\bar{\boldsymbol{B}}\), integrallash nuqtasi \(\boldsymbol{r}\) dagi oddiy B matritsa esa \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) bo‘lsin. \(\alpha\) tugun va \(i\) erkinlik darajasi uchun siljish–strain munosabatida hajmiy strain komponentlari \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ga

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

qo‘shiladi. Siljish komponentlari \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) uchun oddiy \(\boldsymbol{B}\) ishlatiladi. Element qattiqligi va ichki kuch vektori hosil bo‘lgan B-bar matritsa yordamida yig‘iladi.

FrontISTR bu formulatsiyani aynan 8 tugunli chiziqli hexahedral element uchun (element ID 361; Element raqamlash tizimi ga qarang) taqdim etadi; u kichik deformatsiya, Total Lagrange va Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi.

F-bar usuli¶

Chekli deformatsiyada hajmiy o‘zgarish deformatsiya gradienti \(\boldsymbol{F}\) orqali nochiziqli kiradi. F-bar usuli [deSouzaNeto1996] B-bar ga o‘xshash hajmiy lockingga qarshi tuzatishni deformatsiya gradienti darajasida bajaradi.

Element markazi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) da baholangan deformatsiya gradientining hajm nisbati \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), integrallash nuqtasidagi nisbat esa \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) bo‘lsin. Integrallash nuqtasidagi deformatsiya gradienti

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

bilan almashtiriladi. Shunda \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) bo‘lib, element bo‘ylab hajm nisbati element markazidagi qiymatga moslashtiriladi. Almashtirilgan \(\bar{\boldsymbol{F}}\) kuchlanishni baholash va strain–siljish matritsasini tuzishda ishlatiladi; element urinma qattiqligi ushbu almashtirish bilan bog‘liq qo‘shimcha hadlarni ham o‘z ichiga oladi.

FrontISTR F-bar usulini aynan 8 tugunli chiziqli hexahedral element uchun amalga oshiradi; u kichik deformatsiya hamda Total Lagrange / Updated Lagrange nochiziqli geometriyasiga qo‘llanadi.

Nomos elementlar¶

8 tugunli chiziqli hexahedral element egilish uchun zarur strain rejimlariga yetarlicha ega emas va egilish ustun masalalarda bending locking ko‘rsatadi. Nomos elementlar [Taylor1976] bu kamchilikni qoplash uchun element ichiga qo‘shimcha siljish rejimlarini kiritadi.

Element tugun siljishlari \(\boldsymbol{u}^e\) ga qo‘shimcha ravishda faqat element ichida mavjud bo‘lgan, har bir element uchun 3 yo‘nalish × 3 rejimdan iborat nomos rejim erkinlik darajalari \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) kiritiladi va siljish maydoni

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ko‘rinishida yaqinlashtiriladi. Tabiiy koordinatalar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) uchun nomos shakl funksiyalari \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) deb olinadi. Ular element chegaralari bo‘ylab uzluksizlikni kafolatlamaydi, ammo egilish rejimlariga mos strainlarni ifodalovchi ichki fazoni qo‘shadi.

Element qattiqligi avval tashqi DOF / ichki DOF blok ko‘rinishida yig‘iladi:

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

So‘ng statik kondensatsiya \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) orqali ichki DOF larni yo‘qotib, faqat tashqi DOF lar uchun

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

element qattiqligini beradi va bu global yig‘ishga uzatiladi.

FrontISTR nomos elementni aynan 8 tugunli chiziqli hexahedral element (C3D8IC) uchun amalga oshiradi va u kichik deformatsiya, Total Lagrange hamda Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi.

U-P aralash elementlar¶

B-bar va F-bar siljishga asoslangan doira ichida hajmiy qismni tuzatsa, u-p aralash (U-P) element bosim \(\lambda\) ni siljishdan mustaqil noma’lum maydon sifatida kirituvchi aralash formulatsiyadan [Bathe1996] foydalanadi. Puasson koeffitsiyenti 0.5 ga juda yaqin rezinasimon materiallar yoki plastik deformatsiyadan keyingi metallar kabi deyarli siqilmaydigan materiallarda faqat siljish maydoni bilan hajmni saqlash cheklovini bajarish hajmiy locking keltirib chiqaradi; bosimni mustaqil o‘zgaruvchi qilish bu cheklovni yumshatadi.

Kuchlanish deviator va bosim qismlariga ajratiladi:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Bu yerda \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) — elastiklik matritsasidan bulk modul \(K\) ga proporsional hajmiy qism olib tashlangan deviator elastiklik matritsasi. Bosim \(\lambda\) va hajmiy strain \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) siqiluvchanlik \(\alpha^{-1} = 1/K\) orqali cheklov bilan bog‘lanadi:

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Siljish \(\boldsymbol{u}\) va bosim \(\lambda\) noma’lumlar sifatida diskretlanganda elementning bog‘langan tizimi

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

olinadi. Bu yerda \(\mathbf{K}_{uu}\) deviator elastik hissa va chekli deformatsiyada geometrik qattiqlikni, \(\mathbf{K}_{up}\) hajmiy strain–bosim bog‘lanishini, \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) esa bosim stabilizatsiyasi hadini o‘z ichiga oladi (\(\boldsymbol{N}_p\) — bosim shakl funksiyasi). Bosim erkinlik darajalari element ichki DOF lari bo‘lgani uchun

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ko‘rinishida statik kondensatsiya qilinadi va faqat tashqi (siljish) DOF larni o‘z ichiga olgan samarali qattiqlik global yig‘ishga uzatiladi.

FrontISTR U-P elementni aynan 8 tugunli chiziqli hexahedral element uchun, har bir elementga bitta bosim erkinlik darajasi (element ichida o‘zgarmas) bilan amalga oshiradi. U kichik deformatsiya, Total Lagrange va Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi. Updated Lagrange da deviator kuchlanish obyektiv kuchlanish tezligi (Jaumann/Hughes-Winget turi) bilan yangilanadi va so‘ng statik kondensatsiyadan olingan qiymat bilan bosim \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) qo‘yiladi.

Shell elementlar¶

Reissner-Mindlin plastina/shell nazariyasiga asoslangan shell elementlar yupqa devorli plastina va qobiq konstruksiyalarida ishlatiladi. Qalinlik kamayganda past tartibli siljishga asoslangan plastina/shell elementlar hajmiy lockingga o‘xshash mexanizm bilan ko‘ndalang siljish strainini ortiqcha baholaydi (shear locking) va egilish rejimlari qattiqligini sun’iy ravishda oshiradi. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) usuli [Dvorkin1984] [Bathe1986] faqat siljish strain komponentlarini elementdagi oldindan belgilangan tying pointlarda qayta namunalab, keyin shu qiymatlarni element bo‘ylab interpolatsiya qilish orqali muammoni bartaraf etadi.

MITC shell element tugunlari o‘rta sirt ustida joylashadi; har bir tugunda oltita DOF mavjud: uchta translatsiya va o‘rta sirt normal koordinata tizimi atrofidagi uchta aylanish. Element qattiqligi o‘rta sirt tabiiy koordinatalari va qalinlik yo‘nalishi bo‘yicha uch o‘lchamli Gauss integrallashi bilan baholanadi; qalinlik \(h\) konstitutiv hisobda element xossasi sifatida beriladi.

FrontISTR bitta o‘rta sirt qatlamida ifodalangan MITC3 (element ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), shuningdek qalinlik bo‘yicha ikki qatlamli tugunlarga ega MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 tugun, har tugunda 3 DOF) va MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 tugun, har tugunda 3 DOF) qatlamli shell elementlarini taqdim etadi. Qatlamli shell elementlarda tugun DOF lari faqat uch translatsiya komponentidan iborat, aylanish DOF lariga mos egilish rejimlari esa ikki qatlamli joylashuv orqali ifodalanadi.

Beam elementlar¶

To‘sin va ramalar kabi chiziqli konstruksiyalar beam elementlar bilan diskretlanadi. FrontISTR siljish deformatsiyasini hisobga oladigan va egilish hamda siljishni translatsion va aylanish DOF lar funksiyasi sifatida ifodalaydigan Timoshenko beam formulatsiyasidan foydalanadi.

Har bir beam tugunida oltita DOF mavjud: beam o‘qi va ko‘ndalang o‘qlar bo‘yicha uch translatsiya va uch aylanish. Element qattiqligi beam o‘qi bo‘yicha bir o‘lchamli sonli integrallash orqali baholanadi. Kesim yuzi \(A\) va egilish hamda buralish yo‘nalishlaridagi ikkinchi momentlar \(I\) beam section xossalari sifatida berilib, materialning Young moduli \(E\) va siljish moduli \(G\) bilan birga o‘q bo‘ylab, egilish, buralish va siljish qattiqliklarini belgilaydi.

FrontISTR 2 tugunli to‘g‘ri beam elementini (element ID 611) va 3 tugun bilan ifodalangan 4 tugunli tetrahedral solid-beam gibrid elementini (641, aralash DOF uchun) taqdim etadi.

Bog‘liq bo‘limlar¶

3D solid elementlar formulatsiyasi — standart formulatsiya bilan taqqoslash
Element raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi — element turi ID lari
Elementlar kutubxonasi (funksiyalar) — har bir elementni tanlash bo‘yicha ko‘rsatmalar