Tarkibga o'tish

3D solid elementlarning shakl funksiyalari

Shakl funksiyalari va chekli element approksimatsiyasi da kiritilgan \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) shakl funksiyalari uchun ushbu bobda FrontISTR kontinuum tahlilida foydalanadigan 3D solid elementlarning tabiiy koordinata sistemalari va aniq shakllari jamlangan. Qamrov tetraedrning chiziqli/kvadratik (341/342), prizmaning chiziqli/kvadratik (351/352) va geksaedrning chiziqli/kvadratik (361/362) turlaridan iborat oltita elementni o‘z ichiga oladi. HEC-MW mesh formatidagi tugun tartibi va sirt raqamlari uchun funksional ma’lumotnomadagi Elementlar kutubxonasi ga qarang.

Ushbu shakl funksiyalari va Yakobian determinantidan element integrali tuzilish tartibi Sonli integrallash da bayon qilingan. 361 uchun B-bar, F-bar va incompatible formulirovkalar hamda beam va shell elementlarning shakl funksiyalari Yuqori samarali element formulirovkalari da ko‘rib chiqiladi.

Tabiiy koordinata sistemalari va ichki tugun tartibi

Shakl funksiyalari har bir elementning tabiiy koordinatalari \(\boldsymbol{r}\) da aniqlanadi. 3D solid elementlarda element shakliga qarab quyidagi uch turdagi tabiiy koordinata sistemasi qo‘llanadi.

  • Geksaedr (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedr (341/342): hajmiy koordinatalar \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Mustaqil o‘zgaruvchilar sifatida \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) olinadi va \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) orqali aniqlanadi.
  • Uchburchak prizma (351/352): asos uchburchagining hajmiy koordinatalari \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) va o‘q bo‘ylab koordinata \(\zeta \in [-1, 1]\) birlashtirilib \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) olinadi. Yordamchi \(a = 1 - \xi - \eta\) miqdori asosning uchinchi hajmiy koordinatasi sifatida ishlatiladi.

Chiziqli elementlarda element tugun raqamlari HEC-MW kirish formati bilan ichki formatda bir xil. Kvadratik elementlarda esa qirra o‘rta tugunlari tartibi ikki formatda farq qiladi: FrontISTR kirishda HEC-MW formatini (burchak tugunlari bo‘ylab aylangandan so‘ng o‘rta tugunlar 1-2, 2-3, … qirralar tartibida joylashtiriladi) qabul qiladi, elementlar kutubxonasidagi shakl funksiyalari esa boshqa tugun tartibiga tayangan holda amalga oshirilgan.

Ikki format o‘rtasidagi farq mesh o‘qilgandan darhol so‘ng chaqiriladigan hecmw2fstr_mesh_conv har bir element uchun tartibni almashtirishi orqali bartaraf etiladi. 3D solid elementlar ichida quyidagi ikki tur konvertatsiya qilinadi.

Element turi Konvertatsiya jadvali Mazmuni
342 (kvadratik tetraedr) Table342 10 ta tugunni \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) tartibiga qayta joylaydi
352 (kvadratik uchburchak prizma) Table352 15 ta tugunni \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) tartibiga qayta joylaydi

Qayta tartiblash element ulanish ma’lumotlarini saqlovchi massivning o‘zida bajariladi, shuning uchun keyingi element kutubxonasi chaqiruvlarining barchasi FrontISTR ichki tugun tartibidan foydalanadi. Kvadratik geksaedr 362 uchun HEC-MW kirish formati va FrontISTR ichki formatidagi o‘rta tugunlar tartibi bir xil bo‘lgani sababli konvertatsiya jadvali mavjud emas. Natijalarni chiqarishda teskari fstr2hecmw_mesh_conv konvertatsiyasi chaqirilib, tugunlar HEC-MW formatidagi tartibga qaytariladi va so‘ng yoziladi; shu bois foydalanuvchi kirish va chiqishda faqat HEC-MW formatini hisobga olishi kifoya. Quyida keltirilgan shakl funksiyalaridagi tugun raqamlari konvertatsiyadan keyingi FrontISTR ichki formatiga tegishli.

Chiziqli elementlarning shakl funksiyalari

Chiziqli tetraedr elementi (341) ning shakl funksiyalari hajmiy koordinatalarning o‘zidir:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Chiziqli uchburchak prizma elementi (351) ning shakl funksiyalari asos uchburchagining chiziqli shakl funksiyalari (\(a, \xi, \eta\)) bilan o‘q bo‘ylab chiziqli shakl funksiyalari (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) ko‘paytmasidir:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Chiziqli geksaedr elementi (361) ning shakl funksiyalari uchta o‘q yo‘nalishidagi chiziqli shakl funksiyalarining tensor ko‘paytmasidir:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Bu yerda \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) \(\alpha\) tugunning tabiiy koordinata qiymatlarini (har bir komponent \(\pm 1\)) bildiradi.

Kvadratik elementlarning shakl funksiyalari

Kvadratik tetraedr elementi (342) ning shakl funksiyalari 4 ta burchak tuguni va 6 ta qirra o‘rta tuguniga ajraladi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

5–10 o‘rta tugunlari mos ravishda 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 va 3-4 qirralarning o‘rtasiga mos keladi.

Kvadratik uchburchak prizma elementi (352) ning shakl funksiyalari 6 ta burchak tuguni, uchburchak yuzalardagi 6 ta qirra o‘rta tuguni va o‘q bo‘ylab 3 ta qirra o‘rta tugunidan tashkil topadi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

7–9 o‘rta tugunlari asos uchburchagi (\(\zeta = -1\)) qirralarining o‘rtalariga, 10–12 yuqori uchburchak (\(\zeta = +1\)) qirralarining o‘rtalariga, 13–15 esa o‘q yo‘nalishidagi qirralarning o‘rtalariga mos keladi.

Kvadratik geksaedr elementi (362) Serendipity oilasiga mansub 20 tugunli elementdir. \(\alpha\) tugunning tabiiy koordinata qiymatlari \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) deb olinsin. Burchak tugunlari (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), har bir komponent \(\pm 1\)) uchun

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Qirra o‘rta tugunlari (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), uch tabiiy koordinatadan bittasi \(0\), qolgan ikkitasi \(\pm 1\)) uchun, \(\xi_\alpha = 0\) bo‘lgan tugunda (qirra yo‘nalishi \(\xi\) o‘qi)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Qirra yo‘nalishi \(\eta\) yoki \(\zeta\) o‘qi bo‘lgan o‘rta tugunlar ham xuddi shunday, tegishli tabiiy koordinata kvadrat had orqali yo‘qotilgan shaklda beriladi.

Tegishli mavzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status