Sonli integrallash¶

Ichki kuch virtual ishini diskretlash va Tashqi kuch virtual ishi hamda global tenglamani yig‘ish orqali olingan element ichki kuch vektorlari \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) hamda element qattiqlik matritsasi \(\boldsymbol{K}^e\) element sohasi \(\Omega^e\) yoki \(\Omega^e_0\) bo‘yicha integrallar ko‘rinishidadir. FrontISTR ularni Gauss kvadraturasi yordamida sonli ravishda baholaydi.

Gauss kvadraturasi va o‘zgaruvchilarni almashtirish¶

Gauss kvadraturasi standart soha \(\Xi\) bo‘yicha integralni integrallash nuqtalari \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) dagi integral osti funksiya qiymatlari va \(w_i\) og‘irliklarining chiziqli yig‘indisi bilan yaqinlashtiradi. Uni element sohasi \(\Omega^e\) ga qo‘llash \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) akslantirish orqali o‘zgaruvchilarni almashtirishni talab qiladi va

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ko‘rinishida yoziladi. \(n_q\) — integrallash nuqtalari soni, \(J_{\xi_i}\) esa o‘zgarish Yakobianining determinantidir. Standart soha \(\Xi\) har bir element turi uchun aniqlanadi (oltiyoqlik uchun \([-1,1]^3\), uchburchak, tetraedr va pona uchun tegishli etalon shakllar), integrallash nuqtalari \(\boldsymbol{\xi}_i\) va og‘irliklar \(w_i\) esa sonli jadvallar sifatida beriladi. Sirt integrallari ham element yuzini ikki o‘lchamli standart sohadan akslantirish orqali xuddi shu shaklda ko‘rib chiqiladi.

FrontISTR da qo‘llanadigan tipik integrallash nuqtalari soni quyida keltirilgan (element turlari bilan mosligi uchun Elementlarni raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi ga qarang).

Element turi	Integrallash formulasi	Integrallash nuqtalari soni
4 tugunli tetraedr (`tet4n`)	1 nuqtali formula	1
10 tugunli tetraedr (`tet10n`)	4 nuqtali formula	4
6 tugunli uchburchak prizma (`prism6n`)	2 nuqtali formula	2
15 tugunli uchburchak prizma (`prism15n`)	9 nuqtali formula	9
8 tugunli oltiyoqlik (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 tugunli oltiyoqlik (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 tugunli to‘rtburchak (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 tugunli to‘rtburchak (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 tugunli uchburchak (`tri3n`)	1 nuqtali formula	1
6 tugunli uchburchak (`tri6n`)	3 nuqtali formula	3

Oltiyoqlik, to‘rtburchak va chiziqli elementlarda har bir koordinata yo‘nalishidagi Gauss-Legendre formulasining tenzor ko‘paytmasi ishlatiladi. Uchburchak, tetraedr va uchburchak prizmalarda simpleks tipidagi geometriyaga mos maxsus formulalar (uchburchakning o‘zida polinomlarni aniq integrallaydigan nuqtalar joylashuvi) qo‘llanadi.

Element integrallariga qo‘llash¶

Element integralida tabiiy koordinatalar \(\boldsymbol{r}\) standart soha koordinatalari sifatida ishlatiladi (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), fizik koordinatalarga akslantirish esa shakl funksiyalari yordamidagi tugun koordinatalari interpolatsiyasi bilan beriladi. Tayanch konfiguratsiya tanloviga (Inkremental tahlil doirasi) qarab quyidagicha qo‘llanadi.

Total Lagrange usuli (tayanch konfiguratsiya \(\Omega^e_0\) bo‘yicha integrallash): akslantirish va Yakobian

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ko‘rinishida, element ichki kuchi va qattiqlik matritsasi esa

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ko‘rinishida yaqinlashtiriladi. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ning barchasi integrallash nuqtasi \(\boldsymbol{r}_i\) da baholanadi.

Updated Lagrange usuli (joriy konfiguratsiya \(\Omega^e\) bo‘yicha integrallash): akslantirish va Yakobian

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ko‘rinishida va

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ko‘rinishida yaqinlashtiriladi.

Ikki formulalanish orasidagi yagona farq shundaki, akslantirishga beriladigan tugun koordinatalari \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) yoki \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) bo‘ladi; integrallash nuqtalari, og‘irliklar va integrallash nuqtalari bo‘yicha sikl tuzilishi esa umumiydir.

To‘liq integrallash va kamaytirilgan integrallash¶

Integral osti funksiyaning polinom darajasini aniq integrallash uchun yetarli integrallash nuqtalaridan foydalanadigan integrallash to‘liq integrallash, undan bir daraja kam integrallash nuqtalaridan foydalanadigan integrallash esa kamaytirilgan integrallash deb ataladi. Kamaytirilgan integrallash siljish va hajmiy locking ni yumshatish uchun ishlatiladi, ammo hourglass modlari kabi soxta deformatsiya modlarini bartaraf etishni talab qiladi. Har bir element turi uchun integrallash nuqtalari soni va to‘liq/kamaytirilgan integrallash tanlovi Elementlarni raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi dan keyingi bo‘limlarda hamda Yuqori samarali element formulalanishlari da ko‘rib chiqiladi.

Tegishli mavzular¶

Shakl funksiyalarining fazoviy hosilalari — Yakobianni hisoblash
Ichki kuch virtual ishini diskretlash — Sonli integrallash obyekti
Yuqori samarali element formulalanishlari — Kamaytirilgan integrallashdan foydalanish