Tarkibga o'tish

Tashqi kuchlarning virtual ishi va global tenglamalarni yig‘ish

Ichki kuchlar virtual ishini diskretlashtirish da kuchsiz shaklning chap tomoni element ichki kuch vektori \(\boldsymbol{q}^e\) (UL usuli) yoki \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL usuli) ko‘rinishiga keltirilgan. Ushbu bobda tashqi kuchlar virtual ishidan element tugun tashqi kuch vektori \(\boldsymbol{F}^e\) kiritiladi, so‘ng element tugun fizik miqdorlarini global tugun raqamlari bo‘yicha qayta tartiblash va jamlashdan iborat assembly amali orqali FrontISTR nochiziqli strukturaviy tahlilida yechiladigan tugun siljishlariga oid nochiziqli tenglamalar sistemasiga kelinadi.

Tashqi kuchlar virtual ishini elementlarga ajratish

Virtual ish prinsipi ning o‘ng tomoni hajmiy kuch (jism kuchi) va mexanik chegaradagi belgilangan sirt kuchidan iborat tashqi kuchlar virtual ishi sifatida elementlar bo‘yicha ajratilishi mumkin. Shakl funksiyalari va chekli element approksimatsiyasi da kiritilgan siljish interpolatsiyasini matritsaviy ko‘rinishda yozish uchun, \(\alpha\) tugunning \(N_\alpha^e\) shakl funksiyasi diagonalga joylangan \(d \times d\) blok \(\boldsymbol{N}_\alpha\) va ularni yonma-yon joylashtirgan \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) dan foydalanib \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) deb olinadi. Buni referens konfiguratsiyada yozilgan tashqi kuchlar virtual ishiga qo‘ysak

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

hosil bo‘ladi. Bu yerda element tugun tashqi kuch vektori \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) tartibida joylashtirilgan. Shunday qilib, tashqi kuchlar virtual ishi ichki kuch tomonidagi kabi “element tugun vektori × test funksiyasi” ko‘rinishiga keltiriladi (joriy konfiguratsiyada yozilganda ham \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) almashtirishlari bilan ayni shakl olinadi).

Element tugun fizik miqdorlarini yig‘ish

Har bir element uchun olingan tugun fizik miqdorlari \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) global tugun raqamlari bo‘yicha tartiblangan global vektorlarga jamlanadi. \(\Omega^e\) elementidagi lokal tugun raqami \(\alpha\) ga mos global tugun raqamini

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

deb ifodalasak, element tugun fizik miqdori global tugun fizik miqdorining tegishli komponentiga teng bo‘ladi (masalan, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Odatda \(i_g\) tugun bir nechta element tomonidan umumiy ishlatilgani sababli, global tugun raqami \(i_g\) bo‘ladigan \((e, \alpha)\) juftliklar to‘plami

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

dan foydalanib \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) tarzida yig‘indini qayta yozsak, barcha \(n_g\) tugun bo‘yicha tugun ichki kuchi va global ichki kuch vektori

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

olinadi. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) — \(i_g\) tugunga ta’sir qiluvchi element tugun ichki kuchlarining natijaviy kuchi; tashqi kuch bo‘lmasa va muvozanat bajarilsa, u \(\boldsymbol{0}\) bo‘ladi. UL usulida ham ayni tartib bilan \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) olinadi va son qiymati bo‘yicha \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) bo‘lgani uchun, bundan keyin farqlash zarur bo‘lgan joylardan tashqari \(\boldsymbol{Q}\) belgisi ishlatiladi. Global tashqi kuch vektori \(\boldsymbol{F}\) ham ayni jamlash orqali olinadi.

Amalga oshirishda \(\mathcal{E}(i_g)\) to‘plami ochiq tarzda tuzilmaydi; uning o‘rniga element sikli ichida tegishli komponentga hissa qo‘shib boriladi.

Global ichki kuch vektori Q ni 0 ga boshlang: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementlar soni)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Global tashqi kuch vektori \(\boldsymbol{F}\) ham ayni tartibda tuziladi. Element tugun fizik miqdorlarini global tugun raqamlari bilan raqamlangan vektor va matritsalarga qo‘shib saqlash amali assembly deb ataladi. Ikki tugun raqamiga tegishli ikkinchi tartibli tensorlar (masalan, qattiqlik matritsasi) uchun \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) to‘plamidan foydalanib xuddi shunday yig‘ish amali olinadi (aniq tuzilishi uchun Urinma qattiqlik matritsasi ga qarang).

Yechilishi kerak bo‘lgan nochiziqli tenglamalar

Ichki va tashqi kuchlarning yig‘ilgan natijalarini Virtual ish prinsipi ga qo‘yib, u geometrik chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy test funksiyasi \(\delta\boldsymbol{u}^n\) uchun bajarilishidan

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

olinadi. Incremental tahlil (Incremental tahlil doirasi) kontekstida vaqt indeksi \(_{n+1}\) qayta kiritilib, global tugun vektorini bildiruvchi yuqori indeks \(^n\) tushirib qoldirilsa, yechiladigan tenglama

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

bo‘ladi. \(t_{n+1}\) vaqtdagi tugun siljishi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ni topishga oid diskret chegaraviy masala ushbu siljishga nisbatan nochiziqli tenglamani geometrik chegaraviy shartlar bilan birga yechishga keltiriladi. Tenglamani chiziqlashtirish va urinma qattiqlik matritsasini tuzish Urinma qattiqlik matritsasi da, iterativ yechish usuli esa Newton-Raphson usuli da bayon qilingan.

Tegishli mavzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status