Shakl funksiyalari va chekli elementlar approksimatsiyasi¶

Virtual ish prinsipining kuchsiz shaklini kompyuterda hisoblash uchun jism sohasi chekli sondagi elementlarga bo‘linadi va har bir element ichidagi material nuqta koordinatalari, siljish hamda sinov funksiyasi tugun qiymatlari va shakl funksiyalari orqali interpolatsiya qilinadi. Shakl funksiyalarining fazoviy hosilalari Shakl funksiyalarining fazoviy hosilalarida, kuchsiz shaklning diskretlanishi Ichki virtual ishni diskretlashda, har bir element turi uchun shakl funksiyalarining aniq ko‘rinishlari esa Element raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi va undan keyingi bo‘limlarda bayon etiladi.

Sohani bo‘lish va integrallarning elementlar bo‘yicha yig‘indisi¶

Boshlang‘ich konfiguratsiyadagi \(\Omega_0\) soha va joriy konfiguratsiyadagi \(\Omega\) soha mos ravishda \(\Omega^e_0\) va \(\Omega^e\) elementlar birlashmasi bilan yaqinlashtiriladi:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(bu yerda \(e\) — element raqami, element chegaralari qo‘shni elementlar orasida umumiy). Natijada Virtual ish prinsipidagi hajm va sirt integrallari alohida elementlar integrallari yig‘indisiga ajratiladi:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Joriy konfiguratsiya uchun ham \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) va \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) almashtirishlari bilan xuddi shunday.) Shundan so‘ng kuchsiz shaklni baholash har bir element uchun integralni tuzishga keltiriladi.

Tugun qiymatlari va shakl funksiyalari bilan interpolatsiya (izoparametrik elementlar)¶

Har bir \(\Omega^e_0\) elementga \(n_e\) ta tugun biriktiriladi. \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) element tugunining boshlang‘ich konfiguratsiyadagi koordinatasi va tugun siljishi \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) bo‘lsin. Ularni tartiblab tuzilgan element tugun vektorlari \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) va \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) global tugun vektorlari \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) dan (\(n_g\) — tugunlarning umumiy soni) aynan \(e\) elementni tashkil etuvchi tugun komponentlarini ajratib olish orqali hosil qilinadi.

Element ichidagi lokal koordinatalar bo‘lgan tabiiy koordinatalar \(\boldsymbol{r}\) parametr sifatida olinadi. Shakl funksiyalari \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) yordamida element ichidagi material koordinatalari, siljish va sinov funksiyasi bir xil shakl funksiyalari bilan interpolatsiya qilinadi (izoparametrik element va Galerkin usuli):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Shakl funksiyalari quyidagi ikki xossani qanoatlantiradigan qilib tuziladi, tabiiy koordinatalardan material koordinatalariga \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) akslantirish esa element ichida bir qiymatli bo‘ladigan element geometriyasi tanlanadi:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) — \(\alpha\) tugunga mos tabiiy koordinata nuqtasi, \(\delta_{\alpha\beta}\) — Kronecker deltasi). Birinchi tenglama qattiq jismning parallel ko‘chishini qayta tiklashni, ikkinchisi esa interpolatsiya qilingan qiymatning tugunda tugun qiymatiga teng bo‘lishini kafolatlaydi. Har bir element turi uchun \(n_e\) va \(N_\alpha^e\) ning aniq shakllari Element raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi va keyingi bo‘limlarda keltiriladi. Belgilashlarni ortiqcha murakkablashtirmaslik uchun element turiga bog‘liqlik elementga tegishli yuqori indeks \(e\) bilan ifodalanadi.

Yuqoridagi interpolatsiya qoidalari tufayli kuchsiz shakl integrandini faqat element tugun qiymatlari \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) va \(N_\alpha^e\) orqali ifodalash mumkin. Biroq deformatsiya interpolatsiya qilingan siljish va deformatsiya–siljish munosabatidan, kuchlanish esa shu deformatsiya va materialning konstitutiv qonunidan olinadi; ular tugun qiymatlaridan bevosita interpolatsiya qilinmaydi. Bu kattaliklar element ichidagi integrallash nuqtalarida baholanadi (Sonli integrallash).

Global tugun vektorlarini tartiblash qoidasi¶

Tugunlarga biriktirilgan fizik kattaliklar global tugun vektorida tugun raqami → erkinlik darajasi bo‘yicha o‘sish tartibida joylashtiriladi. \(\alpha\) tugundagi \(i\)-erkinlik darajasi komponenti \(u_{i\alpha}\) bilan belgilansa, mos ravishda uch o‘lchamda (\(i=1,2,3\)) va ikki o‘lchamda (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

bo‘ladi. \(\boldsymbol{X}^n\) koordinatalari va \(\delta\boldsymbol{u}^n\) sinov funksiyasi ham shu tartibga amal qiladi. Keyingi boblarda matritsa va vektor ko‘rinishidagi keltirishlar uch o‘lchamli holat asosida yoziladi.

Tegishli mavzular¶

Virtual ish prinsipi — diskretlanadigan kuchsiz shakl
Shakl funksiyalarining fazoviy hosilalari — Jacobian va B matritsasini tayyorlash
Element raqamlash tizimi va shakl funksiyalari kutubxonasi — har bir element turi uchun shakl funksiyalari