Elastoplastiklik¶

Ushbu bobda FrontISTR qo‘llaydigan elastoplastik konstitutiv qonun doirasi bayon qilinadi. Tanlash va kiritish spetsifikatsiyasi tafsilotlari uchun funksiyalar bo‘limidagi 03_material ga qarang.

Hodisa (plastik deformatsiya)¶

TBD (keyingi bosqichda matn yoziladi).

Konstitutiv qonun doirasi¶

FrontISTR bog‘langan oqim qoidasiga asoslangan elastoplastik konstitutiv tenglamani qo‘llaydi. Bundan tashqari, bu konstitutiv tenglama Kirchhoff kuchlanishining Jaumann tezligi bilan deformatsiya tezligi tenzori orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi va deformatsiya tahlilida updated Lagrange usuli qo‘llanadi.

Elastoplastik materialning oqish sharti quyidagicha berilgan deb faraz qilamiz.

Boshlang‘ich oqish sharti:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Keyingi oqish sharti:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

bu yerda,

\(F\): oqish funksiyasi
\(\sigma_{y_0}\): boshlang‘ich oqish kuchlanishi
\(\sigma_y\): keyingi oqish kuchlanishi
\(\sigma\): kuchlanish tenzori
\(e\): kichik deformatsiya tenzori
\(e^p\): plastik deformatsiya tenzori
\(\overline{e}^p\): ekvivalent plastik deformatsiya

Oqish kuchlanishi–ekvivalent plastik deformatsiya bog‘lanishi bir o‘qli holatdagi kuchlanish–plastik deformatsiya bog‘lanishiga mos keladi deb faraz qilinadi.

Bir o‘qli holatdagi kuchlanish–plastik deformatsiya bog‘lanishi

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Bu yerda \(H'\) deformatsion qotish modulidir.

Ekvivalent kuchlanish–ekvivalent plastik deformatsiya munosabati

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Umuman olganda, keyingi oqish funksiyasi harorat va plastik deformatsiya ishining funksiyasidir, biroq soddalik uchun bu yerda faqat ekvivalent plastik deformatsiya \(\overline{e}^p\) ning funksiyasi deb olinadi. Plastik deformatsiya davomida \(F = 0\) sharti saqlanishi kerak, shuning uchun quyidagi tenglama bajarilishi lozim.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Bu yerda \(\dot{F}\) — \(F\) ning vaqt bo‘yicha hosilasi. Bundan keyin biror \(A\) kattalikning vaqt bo‘yicha hosilasi \(\dot{A}\) bilan belgilanadi.

Plastik potensial \(\Theta\) mavjud deb faraz qilamiz va plastik deformatsiya tezligini quyidagi tenglama bilan ifodalaymiz.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Bu yerda \(\dot{\lambda}\) koeffitsiyentdir.

Bundan tashqari, plastik potensial \(\Theta\) oqish funksiyasi \(F\) ga teng deb olib, quyidagi bog‘langan oqim qoidasini faraz qilamiz.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ushbu tenglamani moslik shartiga qo‘yib, quyidagi tenglamani olamiz.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Bu yerda \(D\) elastiklik matritsasidir va

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastik kuchlanish–deformatsiya bog‘lanishini quyidagicha yozish mumkin.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Elastoplastik materialning oqish funksiyasi \(F\) ma’lum bo‘lsa, ushbu ifodadan uning konstitutiv tenglamasi olinadi.

Oqish funksiyalari¶

Quyida FrontISTR qo‘llaydigan elastoplastik oqish funksiyalari keltiriladi.

Von Mises oqish funksiyasi¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Bu yerda \(J_2\) deviatorik kuchlanish tenzorining ikkinchi invariantidir.

Mohr-Coulomb oqish funksiyasi¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Bu yerda \(\sigma_1, \sigma_3\) — mos ravishda maksimal va minimal bosh kuchlanishlar, \(c\) — koheziya, \(\phi\) — ichki ishqalanish burchagi.

Drucker-Prager oqish funksiyasi¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Bu yerda material konstantalari \(\alpha\) va \(\sigma_y\) materialning koheziyasi va ishqalanish burchagidan quyidagicha hisoblanadi.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Tegishli mavzular¶

Chiziqli elastiklik — elastik javob (elastoplastiklikning elastik qismi)
Tangensial qattiqlik matritsasi — material nochiziqliligini o‘z ichiga olgan inkremental tahlilning tangensial qattiqligi
Material ma’lumotlari (funksiyalar) — oqish funksiyalari va qotish qonunlarini tanlash variantlari va ularni qo‘llash